高中数学竞赛知识点整理.doc

不等式块
(又称排序原理)
设有两个有序数组及
则(同序和)
(乱序和)
(逆序和)
其中是1,2,…,(对任一排列)成立.
“平均不等式”:
设有n个正数的算术平均数和几何平均数分别是

此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到
,
和平方平均(在统计学及误差分析中用到)
这四个平均值有以下关系.
——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式.
柯西(Cavchy)不等式:设、、,…,是任意实数,则

等号当且仅当为常数,时成立.
.
切比雪夫不等式:若, ,
则
例题讲解
:
2.,求证:

3.:
,且各不相同,
求证:.

:

:对于任意正整数R,有
,证明:
例题答案:
1. 证明:


评述:(1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变),在因式分解或配方时,,可将
配方为,亦可利用
,3式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式获证.
:显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法.
不等式关于对称,不妨,且,
都大于等于1.

评述:(1)证明对称不等式时,不妨假定个字母的大小顺序,可方便解题.
(2)本题可作如下推广:若
(3)本题还可用其他方法得证。因,同理,
另,4式相乘即得证.
(4)设例3等价于类似例4可证事实上,一般地有排序不等式(排序原理):
设有两个有序数组,则(顺序和)
(乱序和)
(逆序和)
.
排序不等式应用较为广泛(其证明略),
.
:中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.
不妨设,则(乱序和)(逆序和),同理(乱序和)(逆序和)两式相加再除以2,,仿上可证第二个不等式.
:不等式右边各项;可理解为两数之积,尝试用排序不等式.
设的重新排列,满足,
又
,故从而,原式得证.
评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式,
:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法.
;三式相加再除以2即得证.
评述:(1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧.
如,可在不等式两边同时加上
再如证时,可连续使用基本不等式.
(2)