椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法.doc

一、利用三角形三边的关系建立不等关系(但要注意可以取到等号成立)
例1:双曲线的两个焦点为,若为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3) B. C.(3,+) D.
【解析】,,(当且仅当三点共线等号成立),选B
例2、如果椭圆上存在一点P,使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等,那么椭圆的离心率的取值范围为 ( )A. B. C. D.
[解析]设,由题意及椭圆第二定义可知
(当且仅当三点共线等号成立),把代入化简可得又,选B
二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系
例1:双曲线的两个焦点为,若为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围是( )A. B. C. D.
【解析】设,,当点在右顶点处,
..
三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系
例1:双曲线的两个焦点为,若为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3) B. C.(3,+) D.
解:,,即在双曲线右支上恒存在点使得可知,又,选B
、右焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点,P到右准线的距离为d,若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列,求双曲线的离心率的取值范围。
解:由题意得因为,所以,从而 ,。又因为P在右支上,所以。  。。
,其右准线与轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)
解析:由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|= w |PF|∈[a-c,a+c] 于是∈[a-c,a+c]即ac-c2≤b2≤ac+c2∴Þ m又e∈(0,1)故e∈答案:D
例4、已知双曲线的左、,则该双曲线的离心率的取值范围是.
【解析】(由正弦定理得),,.
又,,,由双曲线性质知,,即,得,又,得.
例5、设椭圆的左右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使∠=900,求离心率e的取值范围。
解析:∵P点满足∠F1PF2=90°,∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点,∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点,∵F1、F2是椭圆的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足:r=c≥b,两边平方,得c2≥b2 即c2≥a2-c2
四、利用圆锥曲线中的范围建立不等关系
例1、双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )A. B. C. D.
【解析】
而双曲线的离心率,
例2、设点P在双曲线的左支上,双曲线两焦点为,已知是点P到左准线的距离和的比例中项,求双曲线离心率的取值范围。
解析:由题设得:。由双曲线第二定义得:,由焦半径公式得:,则,即,解得。
归纳:求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标,再利用性质:若点在双曲线的左支上则;若点在双曲线的右支上则。
例2. 设椭圆的左右焦点分别为,如果椭圆上存在点P,使∠=900,求离心率e的取值范围。
解析1:设P(x,y),又知,则
将这个方程与椭圆方程联立,消去y,可解得


解析2:由焦半径公式得


例3已知椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为