数值积分和数值微分（1）.pdf

第四章数值积分与数值微分第四章数值积分与数值微分§-Cotes公式§§§*Gauss求积法§(x)代替被积函数f(x),从而导出b计算定积分f(x)dx近似值的几个基本求积公式:òa(1)等距节点下的:Newton-Cotes公式和Romberg公式(2)数值微分公式本章应用题:为了计算瑞士国土的面积,首先对地图作了如下测量:以西向东方向为x轴,由南向北方向为y轴,选择方便的原点,并将从最西边界到最东边界在x轴上的区间适当地划分为若干段,在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标,数据如表(单位mm):(比例尺18mm:40km)14012010080604020020406080100120140160试由测量数据计算瑞士方公里比较§-Cotes公式b对于积分I(f)=f(x)dxòa如果知道f(x)的原函数F(x),则由Newton-Leibniz公式有bbf(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)òaa但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:(1)f(x)的解析式根本不存在,只给出了f(x)的一些数值(2)f(x)的原函数F(x)求不出来,如F(x)不是初等函数(3)f(x)的表达式结构复杂,求原函数较困难以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法这类方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:在积分区间[a,b]上取一组节点a£x0<x1<L<xn£b作f(x)的n次插值多项式nL(x)=f(x)l(x)不同的nåkk插值方法k=0有不同的基函数lk(x)(k=0,1,L,n)为插值基函数用Ln(x)作为被积函数f(x)的近似,有bbbnf(x)dx»Ln(x)dx=f(x)l(x)dxòaòaòaåkkk=0nb=f(x)l(x)dxåkòakk=0b若计Ak=lk(x)dx,则òanbI(f)=f(x)dx»Akf(xk)=I(f)òaånk=0这就是数值求积公式其中Ak称为求积系数为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立因此定义代数精度的概念:(f)=f(x)dx»Akf(xk)=In(f)òaåk=0对任意次数不超过m次的代数多项式Pi(x)(i£m)都准确成立,即bnPi(x)dx=AP(x)i=0,1,L,mòaåkikk=0但对m+1次多项式却不能准确成立,即只要bnxm+1dx¹Axm+1òaåkkk=(f)=f(x)dx»[f(0)+f(h)]+ah2[f¢(0)-f¢(h)]=I(f)ò021h00对于fx=xI=xdx=hI1=h解:()ò0hh2h2对于f(x)=x1I=x1dx=I=ò0212对于f(x)=x233hhh1322=-ahI=xdx=I1=+ah[0-2h](2)ò03221令I=Ia=112