数值积分和数值微分（4）.pdf

第四章数值积分与数值微分
§ 数值微分
§ 数值微分
先看一个实例:
已知20世纪美国人口的统计数据为(单位:百万)
年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990
人口
试计算美t时刻的人口为x(t),则人口的增长率为
dx dt
r(t) = dx dt如何求
x(t)
一、插值型求导公式
设函数f (x)不一定给出,但知道f (x)在节点处的函数值
a £ x0 < x1 < L < xn £ b
f (xk ) = fk , k = 0,1,L,n
如果f (x)的n + 1阶导数存在,则由Lagrange插值有
f (n+1)(ξ)
f (x) = L (x) + ω(x)
n (n + 1)! n+1 --------(1)
Ln (x)为f (x)的n次Lagrange插值多项式
n
ξÎ[a,b]并与x有关ωn+1(x) = Õ(x ­ x j )
j =0
对(1)式两边求导,有
[ f (n+1)(ξ)]¢ f (n+1)(ξ)
f ¢(x) = L¢(x) + ω(x) + ω¢ (x)
n (n + 1)! n+1 (n + 1)! n+1
由于ξ与x有关,[ f (n+1)(ξ)]¢将很难确定
但是当x = xk时, f ¢(xk )可以求出
[ f (n+1)(ξ)]¢ f (n+1)(ξ)
f ¢(x ) = L¢(x ) + ω(x ) + ω¢ (x )
k n k (n + 1)! n+1 k (n + 1)! n+1 k
f (n+1)(ξ)
= L¢(x ) + ω¢ (x )
n k (n + 1)! n+1 k
k = 0,1,L,n
f (n+1) ξ n
¢ ( )
= Ln (xk ) + Õ(xk ­ x j ) --------(2)
(n + 1)! j=0
j¹ k
--------(2)
f ¢(xk ) = Ln¢(xk ) + En (xk )
k = 0,1,L,n
(n+1) n
f (ξ) --------(3)
En (xk ) = Õ(xk ­ x j )
(n + 1)! j=0
j¹k
(2)式称为插值型求导公式, (3)式为相应产生的误差
由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次
插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插
值型求导公式
二、低阶插值型求导公式

¢ ¢
n = 1时 f (xk ) = L1(xk ) + E1(xk ) k = 0,1
x ­ x1 x ­ x0
L1(x) = f0 + f 1
x0 ­ x1 x1 ­ x0
1 1
L1¢(x) = f0 + f1
x0 ­ x1 x1 ­ x0
f (2)(ξ)
E (x ) = (x ­ x ) k = 0,1, j ¹ k
1 k 2 k j
若令h = x1 ­ x0 ,则
f ¢(x0 ) = L1¢(x0 ) + E1(x0 )
1 h
= ( f ­ f ) ­ f (2)(ξ) --------(4)
h 1 0 2
f ¢(x1 ) = L1¢(x1 ) + E1(x1 )
1 h
= ( f ­ f ) + f (2)(ξ) --------(5)
h 1 0 2
(4)(5)式称为带余项的两点求导公式由于E = o(h)
1 精度阶
f ¢(x ) » f ¢(x ) » ( f ­ f ) 1
即 0 1 h 1 0

n = 2时 f ¢(xk ) = L2¢(xk ) + E2 (xk ) k = 0,1,2
(x ­ x1 )(x ­ x2 ) (x ­ x0 )(x ­ x2 ) (x ­ x0 )(x ­ x1 )
L2 (x) = f0 + f1 + f2
(x0 ­ x1 )(x0 ­ x2 ) (x1 ­ x0 )(x1 ­ x2 ) (x2 ­ x0 )(x2 ­ x1 )
(x ­ x1 ) + (x ­ x2 ) (x ­ x0 ) + (x ­ x2 ) (x ­ x0 ) + (x ­ x1 )
L2¢(x) = f0 + f1 + f2
(x