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求余数
作者:乐家骏
计算一个较小自然数除以非零自然数的商和余数,那是容易的事情,但要计算出一个较大的自然数除以非零自然数的余数,就不是一个简单的问题了,我们必须借助余数的性质来寻求简捷的解法。
下面先介绍四条余数的性质。为了叙述简洁,我们把一个自然数N除以非零自然数p所得的余数称为数N的p余数。
(1)设a、b是两个自然数,a>b,p是非零自然数,a=pq1+r,b=pq2+s(q1,q2,r,s是整数,0≤r<p,0≤s<p),则(a×b)的p余数等于(r×s)的p余数;(a+b)的p余数等于(r+s)的p余数;(a-b)的p余数等于r-s(当r≥s时)或p+r-s(当r<s时)。
(2)A×10n(A,n都是非零自然数)的9余数等于A的9余数。
以上两条性质的证明过程较简单,请读者自行推导。
(3)把n位自然数N任意切成p段(p≤n),切成p个整数N1,N2,N3,…,Np,这p个整数的和的9余数等于N的9余数。
性质(3)的证明如下:
把n位数N任意切成p段(p≤n),切成p个整数N1,N2,N3,…,Np,则N可以表示成p-1个形如Ni×10k(i=1,…,p-1)的数加上Np的和。根据性质(2),Ni×10k的9余数等于Ni的9余数,所以N的9余数等于p个整数的和(N1+N2+N3+…+Np)的9余数。
特殊情况:一个自然数的9余数等于这个数的各位数字之和的9余数。如1020304除以9的余数,等于1+0+2+0+3+0+4=10除以9的余数1。
(4)9个连续自然数连写所组成的多位数能被9整除。
证明:设9个连续自然数为a,a+1,a+2,…,a+8,它们的和为9a+36,能被9整除。
根据性质(3),9个连续自然数连写组成的多位数的9余数,等于这9个连续自然数之和的9余数0,即这个多位数能被9整除。
例1 设A=2006+2006×2006+2006×2006×2006,那么A除以11的余数是。
(2006年”我爱数学杯“数学竞赛五年级决赛试题)
解根据余数性质(1),n个数的积除以a的余数,等于各个数除以a的余数的积除以a的余数。
2006÷11=182……4,即2006除以11的余数是4。(2006×2006)除以11的余数等于(4×4)除以11的余数5,(2006×2006×2006)除以11的余数是(4×4×4)除以11的余数9。
所以A除以11的余数为4+5+9=18除以11的余数7。
例2 已知a、b、c是自然数,且a>b>c。如果这三个数除以11的余数分别是
2,7,9,那么(a+b+c)×(a-b)×(b-c)除以11的余数是。
(2005年春季武汉市”明心奥数挑战赛“五年级试题)
解法一假设a=24,b=18,c=9,则(24+18+9)×(24-18)×(18-9)=51×6×9,51除以11的余数为7,7×6×9=378,378除以11余4,因此所求的余数为4。
解法二(a+b+c)除以11的余数为(2+7+9)除以11的余数7,(a-b)除以11的余数为11+2-7=6,(b-c)除以11的余数为11+7-9=9。7×6×9=378,378除以11的余数为4,因此所求的余数为4。
例3 将从1开始到103的连续奇数依次写成