复合函数的概念及复合函数的单调性
如果是的函数,又是的函数,即,,那么关于的函数叫做函数和的复合函数,其中是中间变量,自变量为,函数值。
例如:函数是由,复合而成立。
函数是由,复合而成立,、是中间变量。
一般地,
定理:设函数在区间上有意义,函数在区间上有意义,且当时,
有以下四种情况:
(1)若在上是增函数,在上是增函数,则在上也是增函数;
(2)若在上是增函数,在上是减函数,则在上也是减函数;
(3)若在上是减函数,在上是增函数,则在上也是减函数;
(4)若在上是减函数,在上是减函数,则在上也是增函数。
即:同增异减
注意:内层函数的值域是外层函数的定义域的子集。
例1、讨论下列函数的单调性(注意:要求定义域)
(1) (2)
解:
练习1:
。
(1) (2)
(3) (4)
例2、已知,且。
(1)求的表达式及定义域;
(2)讨论的单调性。
练习2
,,求的单调区间。
。
练习题
,则的图象必过点( )
A. B. C. D.
( )
,且在上是增函数 ,且在上是增函数
,且在上是减函数 ,且在上是减函数
( )
,16 ,0 ,4 ,0
( )
A. B. C. D.
( )
A. B. C. D.
,则实数的取值范围是( )
A. [6,+ B. C. D.
,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
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