单摆振动运动规律的傅立叶分析.doc

单摆振动运动规律的傅立叶分析
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[问题]单摆振动运动规律的傅立叶分析
对单摆振动规律进行傅立叶分析。
[数学模型]
,设摆锤质量为m,角位置为θ,摆锤的运动方程为
θ
l
mg
O
ft
T

,
即, ()
在小角度的情况下,sinθ≈θ,可得
, ()
其中,ω0为圆频率。可知:单摆在小角度时作简谐振动,小角度周期为
。()
可见:在小角振动的情况下,单摆的周期与角振幅无关,这称为单摆的等时性。
摆锤的角速度为ω= dθ/dt,因此
,
由()式可得
,
积分得
,
当t = 0时,ω= 0,θ= θm,可得C = -gcosθm/l。因此角速度大小为
。()
注意:角速度是单位时间内角度的变化率dθ/dt,圆频率是简谐运动中2π时间内周期性运动的次数2π/
T,它们常用字母ω表示,单位也相同,但意义不同。单摆的周期为
。()
对于任何角振幅θm,通过数值积分和符号积都能计算周期。
利用半角公式可得
。
设
, ()
并设ksinx = sin(θ/2),因此,可得
,
即。()
这是椭圆积分。第一类完全椭圆积分定义为
, ()
周期为
。()
[算法]对于任何一个角振幅θm,利用()式,通过MATLAB数值积分指令quadl和符号积分指令int都可计算单摆的周期。利用MATLAB的完全椭圆积分指令ellipke也能计算单摆的周期。不过,MATLAB定义的一类完全椭圆积分定义为
, (*)
周期可表示为
。(*)
其中
。(*)
取t* = ω0t为量纲时间,()式可化为
, (*)
取θ(1) = θ,θ(2) = dθ/dt*,可得
,。(**)
初始条件是θ(1) = θm,θ(2) = 0。由于
,
因此θ(2)表示以ω0为单位的角速度。由于
,
因此,无量纲时间除以2π就是以小角周期T0为单位的时间。
取l为坐标单位,则摆锤的坐标可表示为
x* = x/l = sinθ,y* = y/l = -cosθ。(*)
简谐振动的角位移可表示为
。(*)
其中T* = T/T0是约化周期。简谐振动的角速度可表示为
。(*)
[程序]。
%单摆振动规律的傅立叶分析
clear %清除变量
thetam=input('请输入单摆角振幅的度数:');%键盘输入角振幅
thm=thetam*pi/180; %化为弧度
T=ellipke(sin(thm/2).^2)*2/pi; %用椭圆积分计算精确周期
n=2^8; %数据个数
wt=linspace(0,2*pi*T,n); %无量纲时间向量
=1e-6; %相对精确
[wt,TH]=ode45('zhou13_1ode_fun',wt,[thm,0],options);%计算角度和角速度
theta=TH(:,1)*180/pi; %角