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中考数学函数知识点
篇一:初中数学所有函数的知识点总结
课题
3. 5 正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数
教学目标
1、掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质 2、会用待定系数法确定函数的解析式
教学重点
掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学难点
掌握正(反)比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质
教学方法
讲练结合法
教学过程
(I)知识要点(来自: 小龙文档网:中考数学函数知识点) (见下表:)
b24ac?b2
注:二次函数y?ax?bx?c?a(x?(a?0) )??a(x?m)(x?n)
2a4a
bb4ac?b2
对称轴x??,顶点(?)
2a2a4a
2
抛物线与x轴交点坐标(m,0),(n,0) (II)例题讲解
例1、求满足下列条件的二次函数的解析式: (1)抛物线过点A(1,1),B(2,2),C(4,?2) (2)抛物线的顶点为P(1,5)且过点Q(3,3)
(3)抛物线对称轴是x?2,它在x轴上截出的线段AB长为2
且抛物线过点(1,7)。 2,
解:(1)设y?ax2?bx?c(a?0),将A、B、C三点坐标分别代入,可得方程组为
???a?b?c?1?a??1
解得?b?4 ?y??x2?4x?2 ?4a?2b?c?2
???16a?4b?c??2?c??2
(2)设二次函数为y?a(x?1)2?5,将Q点坐标代入,即a(3?1)2?5?3,得
a?2,故y?2(x?1)2?5?2x2?4x?3
(3)∵抛物线对称轴为x?2;
∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x??2对称; ∴由题设条件可得两个交点坐标分别为A(?2∴可设函数解析式为:y?a(x?2?代入方程可得a?1
∴所求二次函数为y?x2?4x?2,
2,0)、B(?2?22,0)
2)(x?2?2)?a(x?2)2?2a,将(1,7)
?5),例2:二次函数的图像过点(0,8),(?1,(4,0)
(1)求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间(2)当x取何值时,①y≥0,②y 解:(1)依题意可设函数的解析式为:y?ax2?bx?c(a?0) 将三点坐标分别代入,可得方程组为:
???c??8?a??1?a?b?c??5解得?b??2 ???16a?4b?c?0?c??8
?y?x2?2x?8?(x?1)2?9
∴函数图像的顶点为(1,?9),对称轴为x?1
又∵a?1?0, ∴函数有最小值,且ymin??9,无最大值
1] 函数的增区间为[1,+∞),减区间为(??,
(2)由y?0可得x2?2x?8?0,解得x?4或x??2 由y?0可得x2?2x?8?0,解得?2?x?4
例3:求函数f(x)?x2?x?1,x?[?1,1]的最值及相应的x值
113
?x?1?(x?)2?,知函数的图像开口向上,对称轴为x?
224
11
1]上是增函数。∴依题设条件可得f(x)在[?1]上是减函数,在[22
13
1]时,函数取得最小值,且ymin? ∴当x??[?1,
24131
又∵?1???1?
222
解由y?x
2
∴依二次函数的对称性可知f(?1)?f(1)
∴当x??1时函数取得最大值,且ymax?(?1)2?(?1)?1?3 例4、已知函数f(x)?x2?2(a?1)x?2
4],求实数a的取值(1)若函数f(x)的递减区间是(??,
4]上是减函数,求实数a的取值范围(2)若函数f(x)在区间(??,
分析:二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的,要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系
解:(1)f(x)的对称轴是x??可得函数图像开口向上
2(a?1)2
?1?a,且二次项系数为1>0
1?a] ∴f(x)的单调减区间为(??,
∴依题设条件可得1?a?4,解得a??3
4]上是减函数(2)∵f(x)在区间(??,
4]是递减区间(??,1?a]的子区间∴(??,
∴1?a?4,解得a??3
例5、函数f(x)?x2?bx?2,满足:f(3?x)?f(3?x)
(1)求方程f(x)?0的两根x1,x2的和(2)比较f(?1)、f(1)、f(4)的大小解:由f(3?x)?f(3?x)知函数图像的对称轴为x?
(3?x)?(3?x)
2