牛顿定律的初值敏感性（精选）.ppt

*牛顿定律的初值敏感性
混沌(chaos)
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*牛顿定律的初值敏感性混沌(chaos)
对牛顿定律确定性的绝对化理解,
1961年美国气象学家洛仑兹在研究大气对流对气候的影响时,用牛顿力学建立了一组非线性微分方程:
(, , b为参数)
在上世纪
六十年代受到了挑战。
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:
结论:长期的天气预报是不可能准确的。
初值敏感性
t
气候对初始值的敏感性现象称为“蝴蝶效应”。
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运动对初始值的依赖性可以分为两类。
第一类是运动情况一般地依赖初值:
如单摆的自由小摆动(线性微分方程)。
第二类是运动情况敏感地依赖初值:
如气候的变化问题(非线性微分方程)。
一般来说,服从非线性规律的非线性系统,
对初始值表现出敏感性。
介绍一个典型的非线性迭代方程的例子:
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0  4 , 0  x  1。
若= 4,对三个初值有:
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混沌是在决定性动力学系统中出现的一种
貌似随机的运动。
对初值敏感引起的随机性,称为内在随机性,
在上面典型的非线性迭代方程中,还发现有“倍周期分叉”现象:
▲当 1 3时, 迭代的归宿是一个确定的数。
例如:=, xn+1=xn=7/12(n),周期为1。
▲当≥3时, 迭代出现多个确定的数值。
而结果的飘忽不定,称为混沌现象。
(= 3 时,
曲线开始分叉)
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例如:= 时,一个值对应的有两个值,
xn+2 = xn , → , 周期为2。
= 时,与一个值对应的有4个值,
xn+4=xn , →
↑↓周期为4。
←
即其归宿轮流取两个值:
即其归宿轮流取四个值:
即出现混沌现象,周期为。
▲当 ≤≤4 时,最后归宿可取无穷多值,
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通过倍周期分叉走向混沌的道路,这是目前已知的一种典型方式,
演示混沌摆(KL036)
如下图所示:
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计算出M3的轨道如下图:
对天体运动的力学,
三体和三体以上的问
题只有数值解。
如果两个质量相等的大天体
M1、M2,
和一个质量小的天体M3组成系统。
在一定的初始条件下,
小天体长期轨道对初值敏感,不可预测。
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这种轨道不可长期预测的现象,
从而变成二体问题了。
就是小行星混沌运动的一种表现。
称为天体运动
中的混沌现象。
对太阳系中的行星,
并未观察到这种无序性,
这是因为各行星都可看作是单独在太阳引力作用
下运动,
火星和土星之间有许多小行星。
它们的轨道就
有混沌现象,
有的会进入地球大气层,成为流星。
1992  1994 年,SL  9慧星撞上木星,
很可能
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