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有限元法
有限元法(finite element method)是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想:由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。
目录
1原理
2运用步骤
3派生
1原理
将连续的求解域离散为一组单元的组合体,用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数,近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
2运用步骤
步骤1:剖分:
将待解区域进行分割,离散成有限个元素的集合。元素(单元)的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元,三维空间可采用四面体或多面体等。每个单元的顶点称为节点(或结点)。
步骤2:单元分析:
进行分片插值,即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开,即建立一个线性插值函数。
步骤3:求解近似变分方程
用有限个单元将连续体离散化,通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。有限元法把连续体离散成有限个单元:杆系结构的单元是每一个杆件;连续体的单元是各种形状(如三角形、四边形、六面体等)的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数,这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组,求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问题,并建立了各种有限元模型,如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有限元法十分有效、通用性强、应用广泛,已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。结合计算机辅助设计技术,有限元法也被用于计算机辅助制造中。
有限单元法最早可上溯到20世纪40年代。