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例谈中考数学复习中习题的演变策略及其应用
新课程下的数学教学,强调的是教师的“教研付出”,以实现花最经济的教学代价获取最大化的教学效益。处于紧要关头的中考数学复习教学,则更应强调教师的教研付出和教研实效,以便在短短的两三个月的时间内达成中考复习的各项目标,包括数学知识的全面掌握、解题技能和能力的强化提高、数学思想方法的灵活应用等。其中,教师的核心工作则是要在钻研《数学课程标准》、教材、中考说明及各地的中考数学试题的基础上,精选并研究教学例、习题,强调对所选例、习题作必要的演变与拓展,以“题链”的形式实施复习教学。
本文拟以一道极其常见而又简单的习题为例,谈谈中考数学复习教学中几何问题所常用的演变策略,并配以各地的中考数学试题具体说明对问题的演变及应用,以期抛砖引玉,给中考数学复习以启示。
题目已知:如图1,在和中,AC=CE,点D在边BC的延长线上,且。求证:。
图1
一、思考拓展
从学生熟悉而又简单的问题出发,通过不断演变,逐渐深入研究,不仅有利于学生学习的畏难情绪,让学生积极、主动地投入到中考数学复习教学中去,而且有利于帮助学生全面而系统地复习已掌握的数学知识、思想和方法,有利于提高学生综合应用知识解决问题的能力。
一般地说,几何问题的演变策略通常有以下六种:
条件的弱化或强化;
结论的延伸与拓展;
基本图形的变化拓展;
条件、结论的互逆变换(即建立并讨论原命题的逆命题);
基本图形的构造与应用;
综合演变。
二、演变应用
针对这道习题的条件“AC=CE(线段相等)”、“(三个角都为直角)”和特殊结论“(三角形全等)”,以及所具有的简单而特殊的图形,可对本习题作以上各种常用的演变。下面分别举例说明此问题的前五种演变及其应用,第六种综合演变策略将穿插在前五种演变所举例子中。
弱化条件
当一个命题成立的条件较为丰富时,可考虑减少其中一两个条件,或将其中的一两条件“一般化”,并确定相应的命题结论,从而加工概括成新命题以求拓展应用。针对上述习题中的关键条件“AC=CE”和“”,可分别弱化或同时弱化。
1、弱化条件“AC=CE(线段相等)”,则结论由三角形全等弱化为三角形相似
演变命题1:如图2,在和中,点D在边BC的延长线上,且。求证:。
图2
例1 如图3,正方形ABCD的连长为4cm,点P是BC边上不与点B,C重合的任意一点,连接AP,过点P作交DC于点Q,设BP的长为cm, CQ的长为cm。
图3
求点P在BC上运动的过程中的最大值;
当 cm时,求的值。
例2 如图4,边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在轴的正半轴上,点C在轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动(不与点B,C重合),连接OD,过点D作,交边AB于点E,连接OE。记CD的长为.
图4
(1)当时,求直线DE的函数表达式。
(2)如果记梯形COEB的面积为S,那么S是否存在最大值?若存在,试求出这个最大值及此时的值;若不存在,试说明理由。
(3)当的算术平方根取最小值时,求点E的坐标。
[说明]以上两例,一道是中等难度的运动变化问题,一道是中考压轴题,都巧妙地运用了正方形的特殊性,弱化了条件,发现问题中所蕴含的演变命题1及其图形,并能正确运用其具有的相似结论,成了解决此类问题的突破口。因而,在平时的复习课中,教师应通过简单问题的演变,给学生创造解答综合性问题的机会,让学生自己发现问题的演变技巧和解答技巧,切忌平时不渗透综合性问题教学,而等到临近中考的最后阶段再来集中复习综合题。
2、弱化条件“直角”,则“全等”结论仍然成立
演变命题2:如图5,在和中,点D在边BC的延长线上,AC=CE,且。则:。
图5
例3 如图6,为等边三角形,点D,E,F分别在边BC,CA,AB上,且也为等边三角形。
图6
(1)除已知等边三角形的边相等以外,请你猜想还有哪些线段相等,并证明你的结论;
(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变换相互得到?写出变换过程。
[说明]此题将原题中的“3个直角”弱化为“3个角”,运用相同的方法和相同的结论(三角形等)便可解决问题。
3、同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似。
演变命题3:如图7,在和中,点D在边BC的延长线上,。则:。
图7
这里的条件为三个角相等,至于等于多少度,并无要求,可以是下面例题中的、或等特殊的度数,也可以是一个一般的度数。因而,演变命题3在中考命题中的拓展与应用更为广泛。
例4 如图8,在等边中,P为BC上一点,D为AC上一点,且,BP=1,CD= ,则的边长为( )。
A、3 B、4
C、5 D、6

图8
例5 如图9,在中,,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点