第十讲奇偶性.镇江.doc

学习要求:
掌握函数的奇偶性,会用定义判断和证明函数的奇偶性,会利用函数的奇偶性画出函数的图象,会利用函数的奇偶性解决其它问题.
要点扫描:
偶函数与奇函数:
一般地,如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么称函数是偶函数.
一般地,如果对于函数的定义域内的任意一个,都有,那么称函数是奇函数.

函数奇偶性与函数图象的关系:
如果函数是奇函数或偶函数,我们就说函数具有奇偶性;
偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
几个注意点:
①肯定一个函数的奇偶性,必须用定义证明,否定一个函数的奇偶性,只要举出一个反例;
②函数的奇偶性是函数在其定义域内的性质,因而是函数的整体性质.
③具有奇偶性的函数,其定义区间关于原点对称;
④函数如果是奇函数,并且在定义域内,那么必有;
⑤有没有既是奇函数又是偶函数的函数?如果有的话,有几个?这样的函数有什么特征?
典例剖析:
已知函数是偶函数,是奇函数,试将下图补充完整:
O
O
y
y
x
x

判断下列函数是否为奇函数或偶函数:
⑴; ⑵; ⑶; ⑷; (5).
,且当时,,求的表达式.
,为奇函数,且,求,的解析式.
例5.⑴已知奇函数在上是减函数,试问:它在上是增函数还是减函数?证明之;
⑵已知偶函数在上是增函数,试问:它在上是增函数还是减函数?证明之.
例6.⑴函数与的图象之间有什么关系?⑵已知,画出下列函数的图象:①;②;③;④;⑤;⑥
练习:
对于定义在R上的函数,下列判断是否正确?
⑴若,则函数是偶函数;
⑵若,则函数不是偶函数;
⑶若,则函数不是奇函数;
2. ,都是R上的函数,为奇函数,为偶函数,且,试判断下列函数的奇偶性:
①为函数;②为函数;
③为函数; ④为函数;
⑤为函数;⑥为函数;
3. 若,且,则__________.
:
⑴; ⑵;⑶
,在区间上是增函数,那么当,且时,有
①②
③④无法确定
,则=
,求实数的值, 及的递增区间.
,是偶函数,且―=,试求与的表达式.