2012考研数学一真题[1].docx

2012年全国硕士研究生入学统一考试
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线渐近线的条数为()
(A)0(B)1(C)2(D)3
【答案】:
【解析】:,所以为垂直的
,所以为水平的,没有斜渐近线故两条选
(2)设函数,其中为正整数,则
(A) (B) (C) (D)
【答案】:
【解析】:
所以
(3)如果在处连续,那么下列命题正确的是( )
(A)若极限存在,则在处可微(B)若极限存在,则在处可微
(C)若在处可微,则极限存在(D)若在处可微,则极限存在
【答案】:
【解析】:由于在处连续,可知如果存在,则必有
这样,就可以写成,也即极限存在,可知,也即。由可微的定义可知在处可微。
(4)设 sinxdx(k=1,2,3),则有D
(A)I1< I2 <I3. (B) I2< I2< I3 .(C) I1< I3 <I1, (D) I1< I2< I3.
【答案】:(D)
【解析】:看为以为自变量的函数,则可知,即可知关于在上为单调增函数,又由于,则,故选D
(5)设其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】:(C)
【解析】:由于,可知线性相关。故选(C)
(6)设为3阶矩阵,为3阶可逆矩阵,且,,则( )
(A) (B)(C) (D)
【答案】:(B)
【解析】:,则,
故
故选(B)。
(7)设随机变量x与y相互独立,且分别服从参数为1与参数为4的指数分布,则()
【答案】:(A)
【解析】:的联合概率密度为
则
(8)将长度为1m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为()
【答案】:
【解析】:设两段长度分别为,显然即,故两者是线性关系,且是负相关,所以相关系数为-1
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)若函数满足方程及,则=________。
【答案】:
【解析】:特征方程为,特征根为,,可知。
故
(10) ________。
【答案】:
【解析】:令得
(11) ________。
【答案】:
【解析】:
(12)设则________。
【答案】:
【解析】:由曲面积分的计算公式可知,其中。故原式
(13)设X为三维单位向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵的秩为________。
【答案】:
【解析】:矩阵的特征值为,故的特征值为。又由于为实对称矩阵,是可相似对角化的,故它的秩等于它非零特征值的个数,也即。
(14)设是随机事件,互不相容,,,则________。
【答案】:
【解析】:由条件概率的定义,,
其中,
,由于互不相容,即,,又
,得,代入得,故.
三、解答题:15—23小题,、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
证明:
【解析】:令,可得
当时,有,,所以,
故,而,即得
所以。
当,有,,所以,
故,即得
可知,
(16)(本题满分10分)
求的极值。
【解析】:,