ch2(大字)矩阵(2).doc

对于阶数较高的矩阵的运算,由于其计算量较大、容易出错、且不易检查,为此,在计算时,经常采用“矩阵分块法”,使阶数较高的矩阵的运算可以转化为阶数较低的矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例如将3´4矩阵
A=
按图示方法分块
A=
并记
= = = =
则可将矩阵A记成
A=
应该注意:矩阵A的分块方法可以有很多种,例如还可以分成如下六块
A=
如果把分块矩阵的每一个子块当成矩阵的一个元素。可以按矩阵的运算法则建立分块矩阵的运算。
一、分块矩阵的加法与数乘运算
设A、B是两个同型矩阵,将它们按同样的方法分块:
A=
B=
其中是同类型矩阵,那末
=
如果k为数,
kA=
二、分块矩阵的乘法
设A为矩阵,B为,由矩阵乘法可知,AB有定义,它是矩阵。如果在对矩阵A与矩阵B分块时,使A的列的分法与B的行的分法完全一致,而对A的行的分法与B的列的分法不做限制,例如
A=
其中
B=;
其中
令 C=
其中,
三种特殊的分块矩阵乘法:
(1)设A为矩阵,B为矩阵,对B分块为,则
(2)设A为矩阵,
,B为矩阵,对B分块为,则
,即知AB的行向量都是B的行向量的线性组合。
(3)设A为矩阵,分块为
,
,按分块矩阵乘法计算AB即知AB的列向量都是A的列向量的线性组合。
= B=
,用分块方法求AB。
解可将A、B分块如下
A=
=
B==
其中为二阶单位矩阵,=
= =
于是
AB==
又因
=
=
+=+
=
所以
AB=
三、分块矩阵的转置
设 A=
则=
四、分块对角矩阵
称形如

的分块矩阵为分块对角矩阵,
其中
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
由此性质可知,若,则|A|¹0,并有
设,求
解