函数的单调性和奇偶性.doc

函数的单调性和奇偶性
(一)函数的定义及构成函数的三要素为、、。
(二)函数的三种表示方法分别为、、。
知识点一:函数的单调性
(一)增函数、减函数的概念
一般地,设函数f(x)的定义域为A,区间
如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有,那么就说f(x)在区间M上是增函数;
如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有,那么就说f(x)在区间M上是减函数.
如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数,那么就说函数f(x)在区间M上具有,M称为函数f(x)的.
要点诠释:
(1)“任意”和“都”;
(2)单调区间与定义域的关系——局部性质;
(3)单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的;
(4)不能随意合并两个单调区间.
(二)已知解析式,如何判断一个函数在所给区间上的单调性?
基本方法:观察图形或依据定义.
知识点二:函数的奇偶性
偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)= ,那么f(x)称为偶函数.
奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)= ,那么f(x)称为奇函数.
要点诠释:
(1)奇偶性是整体性质;
(2)x在定义域中,那么-x在定义域中吗?----具有奇偶性的函数,其定义域必定是关于对称的;
(3)f(-x)=f(x)的等价形式为:
,
f(-x)=-f(x)的等价形式为:
;
(4)由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义,则必有f(0)= ;
(5)若f(x)既是奇函数又是偶函数,则必有f(x)= ;
(6)函数f(x)为奇函数图像关于对称;
函数f(x)为偶函数图像关于对称.
类型一:函数的单调性的证明
例1、证明函数上的单调性.
证明:
类型二:求函数的单调区间
例2、判断下列函数的单调区间;
(1)y=x2-3|x|+2; (2)
解:
举一反三:
【变式1】求下列函数的单调区间:
(1)y=|x+1|; (2) (3).
类型三:单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
例3、已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a2-a+1)与的大小.
解:
例4. 求下列函数值域:
(1)y=2x-1/x+2; 1)x∈[5,10]; 2)x∈(-3,-2)∪(-2,1);

(2)y=x2-2x+3; 1)x∈[-1,1]; 2)x∈[-2,2].
例5、已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)的取值范围.
解:
类型四:判断函数的奇偶性
例6、判断下列函数的奇偶性:
(1) (2)
(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)
(6) (7)
举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性:
(1); (2)f(x)=|x+1|-|x-1|;
(3)f(x)=x2+x+1;
(4).
思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断.
解:
【变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
证明:
类型五:函