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率失真编码
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内容提要
数据压缩是信息传输和处理的重要研究内容,率失真理论研究的就是在允许一定失真的前提下,对信源的压缩编码。率失真信源编码定理(香农第三定理)指出:率失真函数R (D) 就是在给定失真测度条件下,对信源熵可压缩的最低程度。
本章只限于研究率失真理论最基本的内容,失真测度,率失真函数,率失真函数的定义域,值域,性质及定量计算。R (D) 的计算很烦琐,文中通过二个例子介绍了几种特殊情况下R (D )的求法,一般情况只能用参数法求解。
第6章率失真编码
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( x, y )
给定离散信源,信道
输出符号yj引起的失真用 d (xi ,y j)(i =1, 2, …,I j = 1, 2, …, J)表示,简记为d i j,将所有的d i j列出来,可以得到下面的失真测度矩阵
(6-1)
在允许一定失真的前提下,从提高传输效率的角度出发,可以对信源信息量事先进行压缩再予传输,这章要讨论的问题就是给定一个失真度,求出在平均失真小于给定值的条件下,信源所能压缩的最低程度,即率失真函数R(D)。
失真测度与平均失真
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【】汉明(Hamming)失真测度
信源输出符号X = {x1, x2, …, xK},信道输出符号Y = {y1, y2, …, yK},约定失真测度
上述约定可以用矩阵表示为
式中di j ≥ 0 i, j = 1, 2, …, K为信源方发送符号xi而信宿方判为yj引起的失真度。
对于矢量传输情况,若信道的输入、输出均为N 长序列X = X1 X2 … XN ,Y = Y1 Y2 … YN ,定义失真测度为


(6-2)
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【】平方误差失真测度
信源输出符号X = {0, 1, 2}, 信道输出符号Y = {0, 1, 2} , 给出失真测度d i j = (xi - yj )2 i, j = 0, 1, 2
则失真测度矩阵为
【】绝对值误差失真测度
信源输出符号X = {0, 1, 2},信道输出符号Y = {0, 1, 2} ,给出失真测度
d i j = ︱xi - yj ︱ i, j = 0, 1, 2
则失真测度矩阵为
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离散信源,经有扰信
道传输,信道输出符号为Y = {y1, y2, …, yJ},平均失真即对d i j(i =1, 2, …,I; j = 1, 2, …, J)求统计平均值,记为

(6-4)
平均失真是对在给定信源分布q(x)条件下,通过有扰信道传输而引起失真的统计平均度量。
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率失真函数的定义
给定信源,即信源概率分布q (x) 一定,给定失真测度矩阵[d]=[dij],寻找信道,记它的转移概率矩阵为
,要求满足

(6-11)
式中D是预先给定的失真度,上式称为保真度准则。
信息率失真函数R(D)
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根据[],当信源q (x)一定时,平均互信息量I (X ; Y)是信道转移概率函数p(y∣x)的∪型凸函数,这意味着可以关于p(y∣x)对平均互信息量I (X ; Y)求得极小值,定义这个极小值为率失真函数R(D),即:
(4-12)
式(6-12)的意义在于,选择p(y∣x)即选择某种编码方法在满足的前提下,使I (X ; Y) 达到最小值R(D) ,这就是满足平均失真条件下的信源信息量可压缩的最低程度。
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(1)D的最小值Dmin
在给定的失真测度矩阵中,对每一个xi,找一个最小的 d i j ,然后对所有的i =1, 2, …,I 求统计平均值,就是D的最小值,即

(6-14)
2. R(D)的定义域
率失真函数的值域、定义域
(D)的值域(参见图4-1)
率失真函数的值域为
0  R(D) H(X)
(4-13)
D
图6-1 R(D)的值域
Dmax
0
Dmin
H