高中数列复习.pptx

一、公式法
二、迭加法
若 an+1=an+f(n), 则:
若 an+1=f(n)an, 则:
三、叠乘法
an=
S1 (n=1),
Sn-Sn-1 (n≥2).
an=a1+ (ak-ak-1)=a1+  f(k-1)=a1+  f(k).
n-1
k=1
n
k=2
n
k=2
an=a1…=a1f(1)f(2)…f(n-1)(n≥2).
an
an-1
a2
a1
a3
a2
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四、化归法
通过恰当的恒等变形, 如配方、因式分解、取对数、取倒数等, 转化为等比数列或等差数列.
(1)若 an+1=pan+q, 则:
an+1-=p(an-).
(3)若 an+1=pan+q(n), 则:
(2)若 an+1= , 则:
pan
r+qan
an+1
1
an
1
= · + .
p
r
p
q
(4)若 an+1=panq, 则:
lgan+1=qlgan+lgp.
五、归纳法
先计算数列的前若干项, 通过观察规律, 猜想通项公式, 进而用数学归纳法证之.
例已知数列{an} 满足: a1=1, an+1 =2an+3×2n-1, 求{an} 的通项公式.
an=(3n-1)×2n-2
an+1
pn+1
an
pn
= + .
q(n)
pn+1
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{an} 中, a1=1, Sn= (n≥2), 求 an.
Sn-1
2Sn-1+1
Sn-1
2Sn-1+1
解: 由 Sn= 知:
1
Sn
1
Sn-1
- =2.
1
Sn
∴{ }是以= =1 为首项, 公差为 2 的等差数列.
1
S1
1
a1
1
Sn
∴=1+2(n-1)=2n-1.
∴Sn= .
2n-1
1
∵a1=1,
当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=- .
(2n-1)(2n-3)
2
∴an=
- , n≥2.
1, n=1,
(2n-1)(2n-3)
2
典型例题
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{an} 的前 n 项和 Sn=n2-7n-8, (1)求{an} 的通项公式; (2)求{|an|} 的前 n 项和 Tn.
解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-14;
当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2n-8,
(2)由(1) 知, 当 n≤4 时, an≤0; 当 n≥5 时, an>0;
当 n≥5 时, Tn=-S4+Sn-S4=Sn-2S4
故 an=
2n-8, n≥2.
-14, n=1,
=n2-7n-8-2(-20)
∴当 n≤4 时, Tn=-Sn=-n2+7n+8,
=n2-7n+32.
故 Tn=
n2-7n+32, n≥5.
-n2+7n+8, n≤4,
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{an} 中, a1=1, an+1= an+1(nN*), 求 an.
1
2
解法一∵an+1= an+1(nN*),
1
2
∴an= an-1+1, an-1= an-2+1.
1
2
1
2
两式相减得: an-an-1= (an-1-an-2)
1
2
∴{an-an-1} 是以 a2-a1= 为首项, 公比为的等比数列.
1
2
1
2
∴an-an-1= ( )n-2=( )n-1.
1
2
1
2
1
2
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=1+ +( )2+…+( )n-1
1
2
1
2
1
2
=2-21-n.
即 an=2-21-n.
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解法二由解法一知 an-an-1=21-n,
又 an= an-1+1,
1
2
消去 an-1 得 an=2-21-n.
解法三
∵ an= an-1+1,
1
2
令 an+= (an-1+),
1
2
则=-2.
∴ an-2= (an-1-2).
1
2
∴{an-2} 是以 a1-2=-1 为首项, 公比为的等比数列.
1
2
1
2
∴an-2=-( )n-1.
即 an=2-21-n.
{an} 中, a1=1, an+1= an+1(nN*), 求 an.
1
2
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{an} 的前 n 项和 Sn 满足条件 lgSn+(n-1)lgb=lg(bn+1+n-2), 其中, b>0 且 b1. (1)求数列{an} 的通项公式; (2)若对nN*, n≥4 时, 恒有 an+1>an, 试求 b