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高中数学函数单调性的判断方法
单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么,有哪些求函数单调性的方法呢?
方法一:定义法
对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值
(1)当时,都有,则说f(x)在这个区间上是增函数;
(2)若当时,都有,则说f(x) 在这个区间上是减函数。
例如:根据函数单调性的定义,证明:函数在上是减函数。
要证明函数f(x)在定义域内是减函数,设任意,则,    ,且在与中至少有一个不为0,不妨设,那么,,故在上为减函数。
方法二:性质法
除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题.
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性,则在区间B上有:
1. f(x)与c•f(x)当c>0具有相同的单调性,当c<0具有相反的单调性;
(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数;
(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数;
例如,已知f(x)在R上是减函数,那么-5f(x)为____函数。
这道题很简单,我们根据单调性的性质,很容易就能判断它是增函数。
方法三:同增异减法(处理复合函数的单调性问题)
对于复合函数y=f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),
可令 t=g(x),则三个函数 y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中,
若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;
若有两个函数单调性相反,则第三个函数为减函数.
注:(1)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性;(2)互为反函数的两个函数有相同的单调性;(3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数。
例如,求函数y=log4(x2-4x+3)的单调区间。
解:设 y=log4u,u=x2-4x+
u>0,
u=x2-4x