线面垂直习题精选.doc

线面垂直的证明中的找线技巧
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
1 如图1,在正方体中,为的中点,AC交BD于点O,求证:平面MBD.
证明:连结MO,,∵DB⊥,DB⊥AC,,
∴DB⊥平面,而平面∴DB⊥.
设正方体棱长为,则,.
在Rt△中,.∵,∴. ∵OM∩DB=O,∴⊥平面MBD.
评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.
利用面面垂直寻求线面垂直
2 如图2,是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥:BC⊥平面PAC.
证明:在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D.
因为平面PAC⊥平面PBC,且两平面交于PC,
平面PAC,且AD⊥PC, 由面面垂直的性质,得AD⊥平面PBC. 又∵平面PBC,∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,平面ABC,∴PA⊥BC.
∵AD∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.
(另外还可证BC分别与相交直线AD,AC垂直,从而得到BC⊥平面PAC).
评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直.
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,.
3 如图1所示,ABCD为正方形,⊥平面ABCD,:,.
证明:∵平面ABCD,
∴.∵,∴∵平面SAB,∴.∵平面AEFG,∴.∴平面SBC.∴.同理可证.
评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化.
4 如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,
作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥:AH⊥平面BCD.
证明:取AB的中点F,连结CF,DF.
∵,∴.
∵,∴.
又,∴平面CDF.
∵平面CDF,∴.
又,,
∴平面ABE,.
∵,,,
∴平面BCD.
评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,,直到证得结论.
5 如图3,是圆O的直径,C是圆周上一点,⊥PC ,E为垂足,F是PB上任意一点,求证:平面AEF⊥平面PBC.
证明:∵AB是圆O的直径,∴.
∵平面ABC,平面ABC,
∴.∴平面APC.
∵平面PBC,
∴平面APC⊥平面PBC.
∵AE⊥PC,平面APC∩平面PBC=PC,
∴AE⊥平面PBC.
∵平面AEF,∴平面AEF⊥平面PBC.
评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.
6. 空间四边形ABCD中,