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数列通项公式的求解方法
一、公式法
例1 已知数列满足,,求数列的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列满足,求数列的通项公式。
例3 已知数列满足,求数列的通项公式。
已知数列满足,求数列的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列满足,求数列的通项公式。
例6 (2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列满足,求数列的通项公式。
例8 已知数列满足,求数列的通项公式。
例9 已知数列满足,求数列的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列满足,,求数列的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列满足,求数列的通项公式。
七、数学归纳法
例12 已知数列满足,求数列的通项公式。
八、换元法
例13 已知数列满足,求数列的通项公式。
九、不动点法
例14 已知数列满足,求数列的通项公式。
例15 已知数列满足,求数列的通项公式。
十、特征根法
例16 已知数列满足,求数列的通项公式。
习题练习
,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记作,再令.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设求数列的前项和.
2. 已知等比数列的公比,前3项和.
(Ⅰ) 求数列的通项公式;
(Ⅱ) 若函数在处取得最大值,且最大值为,求函数的解析式.
3. 设数列满足,
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,
4. 已知数列的前项和为,且满足:, N*,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若存在 N*,使得,,成等差数列,试判断:对于任意的N*,且,,,是否成等差数列,并证明你的结论.
5. 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的、、。
(I) 求数列的通项公式;
(II) 数列的前n项和为,求证:数列是等比数列。
6.(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数k属于M,当n>k时,都成立.
(1)设M={1},,求的值;
(2)设M={3,4},求数列的通项公式.
7. 已知两个等比数列,,满足,,,.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若数列唯一,求的值.
8. 已知等差数列{an}满足a2=0,a6+a8=-10
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列的前n项和.
9. 等比数列的各项均为正数,且
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设求数列的前n项和.
10. 设等差数列满足,。
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)求的前项和及使得最大的序号的值。
11. 设数列满足且.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,记,证明:.
,,且对任意,成等差数列,其公差为.
(Ⅰ)若,证明成等比数列;
(Ⅱ)若对任意,成等比数列,其公比为.
(ⅰ) 设,证明是等差数列;
(ⅱ) 若,证明.
13. 在数列中,,且对任意,成等差数列,其公差为.
(Ⅰ)证明成等比数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ).
14. 已知数列满足:且()
(Ⅰ)求证:数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明:()。
15. 已知公差不为0的等差数列的首项为,且,,成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)对,试比较与的大小.
16. 已知是以a为首项,q为公比的等比数列,为它的前n项和.
(Ⅰ)当、、成等差数列时,求q的值;
(Ⅱ)当、、成等差数列时,求证:对任意自然数k,、、也成等差数列.
17. 已知数列中,是其前项和,并且,
⑴设数列,求证:数列是等比数列;
⑵设数列,求证:数列是等差数列;
⑶求数列的通项公式及前项和。
18. 数列中,且满足
⑴求数列的通项公式;
⑵设,求;
⑶设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
19. 在直角坐标平面上有一点列,对一切正整数,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,-为公差的等差数列。
⑴求点的坐标;
⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线的顶点为,且过点,记与抛物线相切于的直线的斜率为,求:。
⑶设,等差数列的任一项,其中是中的最大数,,求的通项公式。

例题答案解析
例1
解:两边除以,得,则,故数列是以为首项,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为。
评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。
例2
解:由得则
所以数列的通项公式为