离散型
如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出,其值域为一个或若干个有限或无限区间,这样的随机变量称为离散型随机变量。
离散型随机变量的一切可能的取值 与对应的概率 乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望[2] (若该求和绝对收敛),记为 。它是简单算术平均的一种推广,类似加权平均。
公式
离散型随机变量X的取值 , 为X对应取值的概率,可理解为数据 出现的频率 ,则:
定理
设Y是随机变量X的函数: ( 是连续函数)它的分布律为
若
绝对收敛,则有:
连续型
设连续性随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分绝对收敛,则称积分的值
为随机变量的数学期望,记为E(X)。
若随机变量X的分布函数F(x)可表示成一个非负可积函数f(x)的积分,则称X为连续性随机变量,f(x)称为X的概率密度函数(分布密度函数)。
数学期望 完全由随机变量X的概率分布所确定。若X服从某一分布,也称 是这一分布的数学期望。
定理
若随机变量Y符合函数 ,且 绝对收敛,则有:
该定理的意义在于:我们求 时不需要算出Y的分布律或者概率密度,只要利用X的分布律或概率密度即可。
上述定理还可以推广到两个或以上随机变量的函数情况。
设Z是随机变量X、Y的函数 (g是连续函数),Z是一个一维随机变量,二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ,则有:
性质
设C为一个常数,X和Y是两个随机变量。以下是数学期望的重要性质:
1.
2.
3.
,
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