九章算术机械化算法.doc

吴文俊对此有精辟的论述,他说:“假如你对数学的历史发展,对一个领域的发生和发展,对一个理论的兴旺和衰落,对一个概念的来龙去脉,对一种重要思想的产生和影响等这许多历史因素都弄清了,我想,对数学就会了解得更多,对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻,还可以对数学的未来起一种指导作用,也就是说,可以知道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的效益”。数学机械化理论的创立,正是这种古为今用原则的硕果。我国科学技术的伟大复兴,呼唤着更多这样既有浓郁的中国特色、又有鲜明时代气息的创新。
1 中国古代数学的发展
    在古代世界四大文明中,中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪,中国古典数学先后经历了三次发展高潮,即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期,并在宋元时期达到顶峰。
    与以证明定理为中心的希腊古典数学不同,中国古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为主线。从线性方程组到高次多项式方程,乃至不定方程,中国古代数学家创造了一系列先进的算法(中国数学家称之为“术”),他们用这些算法去求解相应类型的代数方程,从而解决导致这些方程的各种各样的科学和实际问题。特别是,几何问题也归结为代数方程,然后用程式化的算法来求解。因此,中国古代数学具有明显的算法化、机械化的特征。以下择要举例说明中国古代数学发展的这种特征。
    线性方程组与“方程术”
    中国古代最重要的数学经典《九章算术》(约公元前2世纪)卷8的“方程术”,是解线性方程组的算法。以该卷第1题为例,用现代符号表述,该问题相当于解一个三元一次方程组:
     3x+2y+z=39
     2x+3y+z=34
     x+2y+3z=26
    《九章》没有表示未知数的符号,而是用算筹将xyz的系数和常数项排列成一个(长)方阵:
     1 2 3
     2 3 2
     3 1 1
     26 34 39
    “方程术”的关键算法叫“遍乘直除”,在本例中演算程序如下:用右行(x)的系数(3)“遍乘”中行和左行各数,然后从所得结果按行分别“直除”右行,即连续减去右行对应各数,就将中行与左行的系数化为0。反复执行这种“遍乘直除”算法,就可以解出方程。很清楚,《九章算术》方程术的“遍乘直除”算法,实质上就是我们今天所使用的解线性方程组的消元法,以往西方文献中称之为“高斯消去法”,但近年开始改变称谓,如法国科学院院士、[4]中就称解线性方程组的消元法为“张苍法”,张苍相传是《九章算术》的作者之一。
    高次多项式方程与“正负开方术”
    《九章算术》卷4中有“开方术”和“开立方术”。《九章算术》中的这些算法后来逐步推广到开更高次方的情形,并且在宋元时代发展为一般高次多项式方程的数值求解。秦九韶是这方面的集大成者,他在《数书九章》(1247年)一书中给出了高次多项式方程数值解的完整算法,即他所称的“正负开方术”。
    用现代符号表达,秦九韶“正负开方术”的思路如下:对任意给定的方程
    f(x)=a[0]x^n+a[1]x^(n-1)+……+a[n-2]x^2+a[n-1]x+a[n]=0 (1)
    其中a[0]≠0,a[n]<