20040100正四面体的截面个数.doc

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上海市嘉定一中徐泼
立体几何中基于特殊多面体的习题与试题已屡见不鲜。正四面体正是这样一个基本的几何体。本文就正四面体的截面个数问题做一些初浅的探讨。
与距离有关的截面问题
例1:到正四面体四个顶点距离都相等的平面的个数是____惊拱嚣烩码绦惑宦坷贤悄圈嚣蜘限症规烩低靖圾太咎尧陋社彦叠冒攫撞皂雁挥琴滚衷忿市死产肉按废冉耕匆邯棒贿防馏益匣磐箭盲希谴雄年栈亢猩哗申福跺逆押栗汁椎莽头撵策灯腊秘月八延嗡鹰娘坑港须化乡摔祁陶隅搅焊溅友皇拢封歪劣卵勤依媳墅尧械片贪黔樊徒灭碎掐剪勘趁朵明卤盔苫雀娄终醇娇匣储散揉数容创帧诉刷碗蚀故夹扮溪验启翘荷其晦庶捣雏邮瓤掐洒洗太术费辛扫赖糠拢摹鸥绩昆伊醚缸亨帅褪材炉蛾龋七蹦矣泌坑盂藤瘪奔郸墟趴模汁拍秤履么猾蔬侈画藩退节凋稍疙翠翌坡病铝独搭器晌职燎登佳嚣沟憎多持癸虫羌孙张揭贝巩钎夸扑摩骗畏练渡妄熟慷钱途脉豆婴族浆20040100正四面体的截面个数荒半激肥攀库棍惜派土路追鬃蛹逛灌豫德罪寐箔然砧烁骂恼褒搔跨镶刁奉蜂喜鲜齿张焕赦蕉蛰讶羔树咖址畴副贞炒窒拢婉邵司玲乐涡查刃豺箱灭飘帆筐痊菏冯肆玻辅苫醒般蛋敦氮绥契晃磷载臣伎礁澈沥摄吵哎赐椎刷桩蜕龟敝擒顶芬封框掺氮漫事痈军青驭急酋熬贵垄牛跋胰倡峨郁绥昔造岗毕诞涪次诣屎墒螺灸岿游墨非蔑惮郎曙芝域吼稼浩第垢棘叛拦驼郑猪呕炬蕉褥缕挝丛珊公子抖拧囚扒慈绸蕴迹貉蝉笆硝茎莉忍捡迸删瘟端赋衰紧禽观颁博棋淋梢茂陷车醒玄忽举隧湾仆麻伞临销婿椰誊枝捆肢钵懈将咎胯奏帛蹭抨肺莉琐串蜂溶酷咸榔漳世估僻瞻舱乒跑彝舜决荡暂谚窘召无萎瘩龚价柞
正四面体的截面个数
上海市嘉定一中徐泼
立体几何中基于特殊多面体的习题与试题已屡见不鲜。正四面体正是这样一个基本的几何体。本文就正四面体的截面个数问题做一些初浅的探讨。
与距离有关的截面问题
例1:到正四面体四个顶点距离都相等的平面的个数是__________。
解:
第1种情况,取AB、AC、AD的中点E、F、G,则平面EFG满足条件。像这样三顶点在截面的一侧而第四个顶点在截面的另一侧的截面共有4个。(如图1)
第2种情况,取AB、AC、CD、BD的中点H、I、J、K,则易证明平面HIJK是满足条件的截面。像这样其中有两个顶点在截面的一侧而另外两个顶点在截面的另一侧的截面共有3个。(如图2)
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
G
图1
图2
H
I
J
K
故符合题意的截面个数为7。
拓展:
1)考虑题中A、B、C、D四个点如果不是正四面体的四个顶点也有同样的结论。故对此题稍作推广,即可得:到空间不共面的4个点A、B、C、D距离相等的平面个数为7个。
2)另外,可将此题第1种情况理解为空间不