高中数学竞赛辅导(证四点共圆).doc

一、利用圆的定义(找到某一点,证明四点到这一点的距离相等,则此四点共圆)
△ABC内任一点,在△ABC内作三条直线,AL、,使∠BAL=∠CAK, ∠ABM=∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且AL=AK,BM==CK,求证:K、L、M、N四点共圆。
△ABC,在BC边上取点A(位于与C之间),在AC边上取点B(位于与A之间),在AB边上取点C(位于与B之间),使得∠,直线、和可构成一个三角形,直线、和可构成另一个三角形,直线、和,证明:这两个三角形的六个顶点共圆。
,分别为的垂心,求证:四点共圆。
二、利用角的关系
(1)证明四点为顶点的四边形的内对角互补,则四点共圆;(2)证明四点为顶点的丝包线的一外角等于其内对角,则四点共圆;(3)线段同旁张等角,则四点共圆。
,ACBD,作垂足E关于AB、BC、CD、DA的对称点P、Q、R、S,求证:P、Q、R、S四点共圆。
⊙O、⊙O、⊙O的公共点,点A、B、C分别是⊙O与⊙O、⊙O与⊙O、⊙O与⊙O的交点,若A、B、C三点共线,求证:O、O、O、O四点共圆。
,,求证:A、B、C、D、E五点共圆。
,每条直线与所平行的边之间的距离等于该边的长度,同时,对于每条边、平行于它的直线和高边所对顶点位于该边的两侧,证明:三角形各边的延长线与所引的三条直线的交点在同一个圆周上。
三、利用相交弦定理的逆定理和割线定理的逆定理
△ABC中,以BC为直径作圆与BC边上的高AD及其延长线交于M、N,以AB为直径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P、Q,求证:M、N、P、Q四点共圆。
9.△ABC的内切圆分别切三边BC、CA、AB于点D、E、F,点X是△ABC的一个内点,△XBC的内切圆也在点D与BC边相切,并与CX、XB分别相切于点Y、Z,证明:EFZY是圆内接四边形。
四、利用托勒密的逆定理(A、B、C、D四点共圆ABCD+BCDA=ACBD)
,BF=AF+FC,点D在BC上,点E在BA的延长线上,且BD=BE=AC,,求证:四边形ABCF有外接圆。
五、证多圆过定点(多圆或动圆过定点问题,常用的方法有两种,其一,探索定点,化归为证四点共圆;其二,作出符合题设的点,化归为证点的唯一性)
△ABC的边AB上任一点,作PQ∥AC交BC于Q,作PR∥BC交AC于R,证明:一切过点C、Q、R的圆经过一定点。淫霹颁袄贬疹芜锅乏例桩宜未张涵岿侩集沸淆觉牢鱼秃以筏徐裤畅冯宪出箕咙鲸歪荷醛湍钎眠