微积分81620.doc

○微积分(Calculus)
是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分学基本定理指出,微分和积分互为逆运算,这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学,但是在教学中,微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。它是一种数学思想,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。十七世纪后半叶,牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作,分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量,但是理论基础是不牢固的。因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算,所以,直到十九世纪,柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化。
学习微积分学,首要的一步就是要理解到,“极限”引入的必要性:因为,代数是人们已经熟悉的概念,但是,代数无法处理“无限”的概念。所以,必须要利用代数处理代表无限的量,这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中,我们可以知道,这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦,相反引入了一个过程任意小量。就是说,除的数不是零,所以有意义,同时,这个小量可以取任意小,只要满足在德尔塔区间,都小于该任意小量,我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧,但是,他的实用性证明,这样的定义还算比较完善,给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。
微积分是与实际应用联系着发展起来的,它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中,有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。
○微积分的基本方法
微积分的基本原理告诉我们微分和积分是互逆的运算,微积分的精髓告诉我们我们之所以可以解决很多非线性问题,本质的原因在于我们化曲为直了,现实生活中我们会遇到很多非线性问题,那么解决这样的问题有没有统一的方法呢?
经过研究思考和总结,笔者认为,微积分的基本方法在于:先微分,后积分。
笔者所看到的是,现在的教材没有注意对这些基本问题的总结,基本上所有的教材每讲到积分时都还重复古人无限细分取极限的思想,讲到弧长时取极限,讲到面积时又去极限,最后用一个约等号打发过去。这样以来不仅让学生听得看得满头雾水,而且很有牵强附会之嫌,其实懂得微积分的本质和基本方法后根本不需要再那么重复。
○微积分的基本内容
研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般