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第二章微积分运算
微积分是数学学习的重点和难点之一, 而微积分运算是 Maple 最为拿手的计算之一,
任何解析函数, Maple 都可以求出它的导数来, 任何理论上可以计算的积分, Maple 都可
以毫不费力的将它计算出来. 随着作为数学符号计算平台的 Maple 的不断开发和研究,
越来越多的应用程序也在不断地创设.
1 函数的极限和连续
函数和表达式的极限
在 Maple 中, 利用函数 limit 计算函数和表达式的极限. 如果要写出数学表达式, 则
用惰性函数 Limit. 若 a 可为任意实数或无穷大时, 求 lim f (x) 命令格式为: limit(f,x=a);
xa
求 lim f (x) 时的命令格式为 limit(f, x=a, right); 求 lim f (x) 时的命令格式为 limit(f,
xa  xa 
x=a, left); 请看下述例子:
> Limit((1+1/x)^x,x=infinity)=limit((1+1/x)^x,x=infinity);
x
 1 
lim  1e
x x 
> Limit((x^n-1)/(x-1),x=1)=limit((x^n-1)/(x-1),x=1);
xn1
lim n
x1 x1
> Limit(x^x,x=0,right)=limit(x^x,x=0,right);
lim xx1
x0+
> Limit(abs(x)/x,x=0,left)=limit(abs(x)/x,x=0,left);
x
lim -1
x0- x
> Limit(abs(x)/x,x=0,right)=limit(abs(x)/x,x=0,right);
x
lim 1
x0+ x
> limit(abs(x)/x,x=0);
undefined
对于多重极限计算, 也用limit. 命令格式为: limit(f, points, dir); 其中, points是由一
系列方程定义的极限点, dir(可选项)代表方向: left(左)、right(右)等. 例如:
> limit(a*x*y-b/(x*y),{x=1,y=1});
- 38 -
ab
> limit(x^2*(1+x)-y^2*((1-y))/(x^2+y^2),{x=0,y=0});
undefined
由于多重极限的复杂性,很多情况下 limit 无法找到答案,此时,不应轻易得出极
限不存在的结论,而是应该利用数学基础判定极限的存在性,然后再寻找别的可行的方
法计算极限(如化 n 重根限为 n 次极限等)。如下例就是化二重极限为二次极限而得正确
结果:
> limit((sin(x+y)/(sin(x)*sin(y)),{x=Pi/4,y=Pi/4}));
 sin()xy 1 1 
limit, {}x, y 
 sin()x sin()y 4 4 
> limit(limit(sin(x+y)/(sin(x)*sin(y)),x=Pi/4),y=Pi/4);
2
函数的连续性
连续
在 Maple 中可以用函数 iscont 来判断一个函数或者表达式在区间上的连续性. 命令
格式为:
iscont(expr, x=a..b, 'colsed'/'opened');
其中, closed 表示闭区间, 而 opened 表示开区间(此为系统默认状态).
如果表达式在区间上连续, iscont 返回 true, 否则返回 false, 当 iscont 无法确定连续
性时返回 FAIL. 另外, iscont 函数假定表达式中的所有符号都是实数型. 颇为有趣的是,
当给定区间[a,b] (a>b)时, iscont 会自动按[b,a]处理.
> iscont(1/x,x=1..2);
true
> iscont(1/x,x=-1..1,closed);
false
> iscont(1/(x+a),x=0..1);
FAIL
> iscont(ln(x),x=10..1);
true
间断
函数 discont 可以寻找函数或表达式在实数域的间断点, 当间断点周期或成对出现
时, Maple 会利用一些辅助变量予以表达,