6.1 玻尔兹曼方程.ppt

第六章输运现象
本章将在前面的基础上进一步讨论电子-声子的相互作用,电子系统面对的不再是静止的晶格,它们之间可有能量和动量的交换。
电子-声子相互作用最重要地表现在外场作用下固体的行为,即固体的输运性质中,这是本章要讨论的重点。
电子-声子相互作用另一个重要方面是以此为媒介,导致电子-声子间附加的相互作用。
玻尔兹曼方程
对固体中电子输运的了解,除载流子所受的散射外,还需要知道在外场作用下载流子的运动规律,以及外场和碰撞散射同时作用对输运性质的影响。
非平衡分布函数的定义是,对于单位体积的样品, 为时刻t,在第n个能带中,在处相空间体积内一种自旋的平均电子数。在本章中,简便起见,仅考虑一个能带,即导带中的电子。则电流密度为:
每个电子对电流密度的贡献为
外场和碰撞所引起的分布函数的变化,遵从波尔兹曼方程(Boltzmann-equation)
玻尔兹曼方程
玻尔兹曼方程
在热平衡情况下,即温度均匀且无外场作用,电子系统的分布函数为费米分布函数:
由于体系均匀, 与无关。偏离平衡态时,假定在比原子间距大许多的小区域有局域的平衡,非平衡分布函数随空间位置和时间t变化。电子的和可因外场的作用,以及碰撞的存在而改变。如果不存在碰撞,t时刻处的电子必来自时刻处,应有:
(-2)
(-1)
玻尔兹曼方程
将上式右边第一项展开,保留到dt的线性项,有:
对于稳定情形, 得
实际上,由于碰撞的存在,dt时间内从出发的电子并不能到达,t时刻在处的电子也并不都来自处。如将碰撞引起的f的改变写成,(-2)应写成:
电子系统的
玻尔兹曼方程
碰撞项或散射项
漂移项
(-3)
(-4)
(-5)
玻尔兹曼方程
通过声子的群速度,方程和晶格振动的声子谱相联系。
类似地可建立声子系统的玻尔兹曼方程,以处理声子的输运现象,声子分布函数的平衡值g0为玻色子气体遵从的普朗克公式。温度梯度存在时,分布函数随变化, 。玻尔兹曼方程为:
按照半经典模型, 与外电磁场相关, ,决定于体系的能带结构。玻尔兹曼方程则将这些,以及碰撞的作用与分布函数相联系,成为处理固体中输运现象的出发点。
(-6)
玻尔兹曼方程
f1为小量
(-8)
回到(-5),通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少,即将f写成:
在仅有电场和温度梯度的情形,(-5)中的漂移项可写成,
的形式,略去了随(或温度、化学势),和的变化。在外加磁场的情形:
(-7)
(-9)
玻尔兹曼方程
(-10)
对于碰撞项,沿用前面提到的弛豫时间近似,该处弛豫时间是作为碰撞的几率,或相继两次碰撞间的平均时间引进的。这里从分布函数的角度,如外场使电子系统进入非平衡态,外场去掉后,碰撞使系统恢复平衡,在对平衡态的偏离较小时,可以合理的假定恢复的快慢比例与系统偏离平衡态的程度以及碰撞的频度,即:
由于f0只通过能量与相关,
而。磁场的影响反映在上式右边第二项中,与小量f1相关,这和输运现象中磁效应的观察往往需要较强的磁场一致,即一般有:
(-11)
玻尔兹曼方程
(-12)
大大简化了对玻尔兹曼方程的求解
负号来源于偏离随时间的增加而减小。上式的解为
即恢复平衡的弛豫过程随时间以指数形式变化,弛豫时间为这一过程的时间常数。
对比(-4),在弛豫时间近似下,(-11)相当于将玻尔兹曼方程中的碰撞项写为:
(-13)
玻尔兹曼方程
在有电场、磁场和碰撞同时存在的情况下,从上面的推导易知,玻尔兹曼方程的形式为:
对碰撞项更细致的考虑超出弛豫时间近似。描述电子碰撞过程的是在单位体积样品中,单位时间内,由于碰撞电子从态