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第十二章
格林函数

泊松方程的格林函数法
有源问题
定解=通解+边界条件
求通解=积分
定解=积分+边界条件
(格林函数法)
1. 源问题
例静电场
处静电场

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边界上可能出现感应电荷
处静电场是源电荷与感应电荷
的电势之和。
感应电荷是源电荷的结果。
计算变成
由
计算感应电荷,然后
是否能一次解决
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定解=通解+边界条件
求通解=积分
定解=积分+边界条件
(格林函数法)
2. 格林公式
第一格林公式:
区域 T,边界
T
设和在 T 中具有连续二阶导数,
在上有连续一阶导数。由高斯定理
感应电荷是边界问题
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第二格林公式:
交换和:
与上式相减
即
法向导数
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3. 边值问题
泊松方程
边界条件
定义在
第一类边界条件
第二类边界条件
第三类边界条件
泊松方程与第一类边界条件,构成第一边值问题(狄里希利问题)
泊松方程与第二类边界条件,构成第二边值问题(诺依曼问题)
泊松方程与第三类边界条件,构成第三边值问题
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4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程
单位负电荷在
奇异,不能化为
面积分。在 T 中挖掉半
径,在的小球。
小球边界。
边界条件无法带入积分之中!
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在, 。
和
连续。
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这样,边界条件进入积分之中!泊松方程的基本积分公式。
解在区域 T 中一点的值通过上面积分,由源项对区域的
积分(右第一项),和边值得积分(右第二项)给出。
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格林函数:
将冲量定理法扩展到空间坐标
对两端固定的弦
问题变成
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5. 边值问题的格林函数
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
第一边值问题(狄里希利问题)
第三边值问题
第一边值问
题格林函数
第三边值问
题格林函数
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