函数的单调性.docx

(小)值
NBA火箭队中锋姚明身高到底多少?2米26!,他也是随着时间的增加而逐渐长高的!那么姚明的身高与时间有什么关系呢?他们之间的关系如果用数学语言又该如何描述呢?
Œ研习教材重难点
研习点1. 增函数与减函数
(重点)
一般地,设函数的定义域为:
增函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数(increasing function).如右图所示.
减函数的定义:如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数(decreasing function).如右图所示.
从增函数的定义可以看出,函数是增函数还是减函数,,(如右图),当∈[0,+)时是增函数,当∈(-,0)时是减函数.
函数单调性的定义要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”,在某个区间上的两个自变量与其对应的函数值对增函数而言是“荣辱与共”的,而对于减函数而言, “此消彼长”的. 单调性的定义的等价形式:设,那么
(1)在是增函数;在是减函数;
(2)在是减函数.
(难点)
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
在理解函数的单调性与单调区间时就注意以下几个方面:
⑴函数的单调区间是其定义域的子集;增函数、减函数、,,是一个局部概念.
⑵应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),例如右图中,在那样的特定位置上,虽然使得>,但显然此图象表示的函数不是一个单调函数;
⑶除了严格单调函数外,还有不严格单调函数,它的定义类似上述的定义,只要将上述定义中的“<或>,”改为“或,”即可;
⑷定义的内涵与外延:
内涵:是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况;
外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.
②几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则为增函数,图象下降则为减函数.
思考:函数单调区间与函数的单调性是同一个概念吗?“某个函数在区间D上单调”与“区间D是函数的单调区间”这两句话,你认为一样吗?
【辨析·比较】单调区间的书写要求
由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,,若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,,,若函数在其定义内的两个区间、上都是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为在区间上是增(减),在区间上也是减函数,,若取,有,这是不符合减函数的定义的.
,指出函数的单调区间,并指明其单调性.
【研析】通过图象直观观察其升降来判断其增减性,但必须注意区间端点的取舍要合理,图(1)中f(x)的单调区间有,(-1,0),,.其中在和上是减函数,在 (-1,0)(2)中g(x)的单调区间有和,其中在和上都是减函数.
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性,是一种比较粗略的方法,那么,对于任给函数,我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢?
(难点)
用定义法判断或证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性的方法步骤:
(1) 任取x1,x2∈D,且x1<x2;
(2) 作差f(x1)-f(x2);
(3)变形(通常是因式分解和配方);
(4) 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
(5) 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
【梳理·总结】判断函数的单调性常用的结论
(1)函数与的单调性相反;
(2)当函数恒为正或恒有负时,与函数的单调性相反;
(3)函数与函数(为常数)的单调性相同;
(4)当(为常数)时,与的单调性相同;当(为常数)时,与的单调性相反;
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