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量纲分析法与流动相似原理
摘要:实验研究是流体力学的重要组成部分。任何一项实验,都必须在科学的理论的指导下进行,否则即使盲目地进行了实验,其结果也是毫无价值的。本文介绍了流体力学实验的理论基础量纲分析的布金汉定理和几种相似理论准则及如何使用其解析物理量间的函数关系和求解物理量。
关键词:量纲;π定理;流动相似定理;相似准则
0 前言
首先了解何为物理量的量纲、布金汉定理、几种常见的相似准则,然后学习如何应用π定理处理和研究复杂物理现象的方法步骤和使用相似准则进行求解物理量。
1 量纲分析法

物理量的性质属性称为量纲。物理量的量纲用dim表示,例如,长度l、速度v、密度ρ的量纲表达式分别为
diml=L, dimv=LT-1, dimρ=ML-3
如果一个物理量的量纲数幂指数均为零,这样的特征数的量纲就是一,称作量纲一的物理量。例如,雷诺数Re是一个量纲一的特征数,其量纲式为
dimRe=M0L0T0=1

量纲分析法最重要的定理是π定理,它通过对某一个物理现象中各物理量的量纲的幂次分析,将若干物理量组合成为量纲一的特征数,揭示各个物理量的量纲关系,减少物理方程的变量数目,为理论分析和实验研究提供理论依据。
通过学习,掌握了应用处理和研究复杂物理现象的方法步骤:
(1)列出n个相关物理量,写出它们的量纲表达式。
(2)确定这些物理量所包含的基本量纲的数目m。
(3)在这些n个物理量中,选择与基本量纲数相同的m个基本物理量。基本物理量的条件是:基本物理量总共包括的基本量纲数目必须是m个,而且这m个基本物理量的量纲幂指数所构成的行列式必须不等于零。
(4)用这m个基本物理量与其余的任一个相关物理量组成量纲一的特征数。这些特征数共有n—m个。
(5)写出包含有n—m个量纲一的特征数的一般方程式。
:在圆管流动中,由于突然收缩造成的压力降落Δp=p1-p2=f(ρ,μ,d,D),其中ρ为流体密度,μ为流体动力粘度,v为流体平均速度。试选用ρ,v,D作为循环量,利用π定理确定Δp与这些物理量之间的函数关系。
解:本问题的有关物理量有8个,即Δp,p1,p2,ρ,μ,d,D,v,其量纲分别为
dimΔp=ML-1T-2, dimμ=ML-1T-1, dimρ=ML-3, dimv=LT-1,
dimD=L, dimd=L, dimp1= ML-1T-2, dimp2= ML-1T-2
选取ρ,ν,D为基本物理量,量纲一的特征数个数为m=5。
π1=μ/(ρavbDc)
dimπ1=M0L0T0=( ML-1T-1)/( MaL-3a+b+cT-b)
则,a=1,b=1,-3a+b+c=-1
解得,a=1,b=1,c=1
故π1=μ/(ρvD)
π2=p1/(ρavbDc)
dimπ2=M0L0T0=( ML-1T-2)/ ( MaL-3a+b+cT-b)
则,a=1,b=2,-3a+b+c=-1
解得,a=1,b=2,c=0
故π2=p1/(ρv2)
同理可得,π3=p2/(ρv2)
p1= f(μ/(ρvD)) ρv2
p2= f(μ/(ρvd)) ρv2
Δp=p1-p2=ρv2 [f(μ/(ρvD))- f(μ/(ρvd))]
2 流动相似原理