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可测函数空间的完备性
学生姓名:张权指导老师:宋儒瑛
(太原师范学院数学系14011班山西·太原 030012)
【内容提要】是定义在上的 Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间,若,引入距离,
则为度量空间。在本文中,获得一个主要结论:可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于某一可测函数,则这样的空间就是完备的。
【关键词】可测函数度量空间完备性
在定义积分时,对被积函数的一个基本要求是这个函数必须是可测的。所以,可测函数是一类很广泛的函数。特别是Lebesgue可测函数更为广泛。我们知道,实数域有一条重要性质,,在数学分析中有重要作用。本文试图对定义在上的 Lebesgue可测函数全体构成的可测函数空间的完备性做进一步的探讨。
一、可测函数空间与度量空间
设为上实值的可测函数全体,为Lebesgue测度,若。对任意两个可测函数及,由于。故这是X上的可积函数。
令如果把中两个几乎处处相等的函数视为中同一元;那么按上述距离成为度量空间。下面验证一下:
⑴在中任取及。≥0显然。若,当且仅当,也是显然的。
⑵因为,所以。
⑶注意函数(求导大于0)是单调上升的,那么,任取有
从而上的实值Lebesgue可测函数有
由前面知,上式两边均可积分。则
即,。所以,按构成度量空间。
二、可测函数空间的完备性
⑴定义:Cauchy点列或基本点列:
在度量空间中,是中的点列,如果对于任意正数,在自然数,使得当时,必有。则称是中的Cauchy点列或基本点列。
如果度量空间中每个柯西点列都收敛,那么称是完备的度量空间。
⑵的完备性:
设及分别是中的点列和点,则点列收敛于的充要条件是函数列依测度收敛于。
证明:充分性:
若依测度收敛于,则对任何的,
有。对任意给定的正数(不妨设).取,则,对于这个,由依测度收敛于,存在自然数
,使时,。
所以,

即
必要性:
若对任何的,由于故,
且,由此可知。即依测度收敛于。
【结论】可见,可测函数空间中,只要每一个Cauchy函数列依测度收敛于,则这样的空间就是完备的。

三、一个例子
在这个例子中,将用到一个引理:若柯西列内有收敛子序列,则它本身是收敛序列。
例:可测函数空间是完备的。
证明:设是柯西列,任取,有自然数,使得对每一对,都有。据此,对每一自然数可以找到一个自然数, 使它满足条件:
⑴.
⑵.
由此得,。由Levi定理知级数在上几乎处处收敛。任取它的一个收敛点,那么对充分大的总有。因为当时,有。由于是收敛点,故产生矛盾。于是,对充分大的总有。由此得,收敛。
从而便知在几乎处处收敛。
这相当于序列的几乎处处收敛。由于几乎处处收敛蕴含依测度收敛,那么是一依的距离收敛的序列。而它是的子列,故是依测度收敛的。从而证明了的完备性。
【参考资料】
[1] 孙永生等《泛函分析讲义》北京师范大学出版社北京 1986,5
[2] 侯友良等《实变函数基础》武汉大学出版社武汉 2002,3
[3] 程其襄等《实变函数与泛函分析基础》高等教育出版社北京 2002,1
[4] 许天周等《应用泛函分析基础》科学出版社北京 2003,6
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