函数的单调性.doc

函数的单调性函数单调性的的判断方法除了用差分法(又称定义法)判断函数的单调性外,常用的方法还是有以下几种:、一次函数、反比例函数的单调性,直接判断函数的单调性,并写出它们的单调区间,熟记以下几种函数的单调性:(1)正比例函数:当时,函数在定义域上是增函数;当时,函数在定义域上是减函数.(2)反比例函数:当时,函数的单调递减区间是,不存在单调递增区间;当时,函数的单调递增区间是,不存在单调递增区间.(3)一次函数:当时,函数在定义域上是增函数;当时,函数在定义域上是减函数.(4)二次函数:当时,函数的图像开口向上,单调递减区间是,单调递增区间是;当时,函数的图像开口向下,单调递增区间是,:在定义域上是增函数,其图像如右图:,(1)函数,当时有相同的单调性,当时有相反的单调性;如函数与的单调性相反,函数与的单调性相同;(2)当函数恒为正(或恒为负)时与有相反的单调性,如:函数是递增函数,则在区间是递减函数;(3)若,则与具有相同的单调性,如:函数,在定义域上,,且是上的递减函数,是上的递增函数,所以函数是上的递减函数,是上的递增函数;(4)若,的单调性相同,则的单调性与,,令,即,因为函数在上单调递减,的单调递减区间是,所以函数的单调递减区间是; (5)若,的单调性相反,,、抽象函数单调性的判定 没有具体函数解析式的函数,我们称为抽象函数,判断抽象函数单调性是一类重要的题型,其解法采用差分法. 实例1已知定义在上的函数对任意,恒有,且当时,,则.,,:求出函数的定义域;明确构成复合函数的简单函数(所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数):;确定简单函数的单调性;若这两个函数同增或同减(单调性相同),则为增函数;若这两个函数一增一减(单调性相异)则为减函数简记为“同增异减”.如下表所示:函数复合函数单调性增增增减增减增减减减减增实例2求函数在定义域上的单调区间 解:由解析式得,,,而在上是减函数,在上是增函数,函数的递增区间为,,即已知函数在定义域的某个区间上为增函数,若对区间内的任意两个值且,. 示例3已知函数在上是减函数,:,, 注意:,且,,且,可得不等式组即解得,:若在定义域是增函数,则当时,取得最小值当,,则当时,取得最大值,当,取得最小值如图3.(3)已知函数,如果在上是单调递增(减)函数,在上是单调递减(增)函数,则在时取得最大(小)值,在或时取得最小(大)值,如下图4,:令,,