正弦定理和余弦定理.docx

正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容===2Ra2=b2+c2-osA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=,sinB=,sinC=;(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=;cosB=;cosC=S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==(a+b+c)r(r是三角形内切圆半径),并可由此计算R、r选择题在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有( )∵bsinA=×=,∴bsinA<a<b,∴△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为( )=×AB×ACsinA=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,所以BC=.已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是( )><<x<<x<2解析若三角形有两解,则必有a>b,∴x>2,又由sinA=sinB=×<1,可得x<2,∴x的取值范围是2<x<,3,x,则x的取值范围是( )A.(8,10)B.(2,)C.(2,10)D.(,8)解析因为3>1,所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,故即8<x2<>0,所以2<x<.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若<cosA,则△ABC为( )<cosA,由正弦定理,得<cosA,即sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<>0,于是有cosB<0,B为钝角,所以△△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )∵cos2=,cos2=,∴(1+cosB)·c=a+c,∴a=cosB·c=,∴2a2=a2+c2-b2,∴a2+b2=c2,∴△△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形解的情况是( )=,∴sinB===>1.∴角B不存在,△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC( ),也可能是钝角三角形解析由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,可设a=5x,b=11x,c=13x(x>0).则cosC==<0,∴C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos2A<cos2B”的( )△ABC中,a>b⇔sinA>sinB⇔sin2A>sin2B⇔2sin2A>2sin2B⇔1-2sin2A<1-2sin2B⇔cos2A<cos2B,所以“a>b”是“cos2A<cos2B”△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A=( )△ABC中,由b=c,得cosA==,又a2=2b2(1-sinA),所以cosA=sinA,即tanA=1,又知A∈(0,π),所以A=,△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,△ABC的面积为,则C=( )°°°°解析∵S△ABC=·AB·AC·sinA=,即××1×sinA=,∴sinA=1,由A∈(0°,180°),∴A=90°,∴C=60°,故选C已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B等于( )===2R,得==,即a2+c2-b2=ac,得cosB==,故B=,△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,若A=