【备战】高考数学专题讲座第20讲高频考点分析之三角函数探讨.doc

【备战2013高考数学专题讲座】
第20讲:高频考点分析之三角函数探讨
1~2讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,3~8讲,对数学思想方法进行了探讨,9~12讲对数学解题方法进行了探讨,从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
三角函数是高考数学的必考内容,从题型的角度,高考中三角函数问题主要有以下几种:
1. 同角、和差倍三角函数的应用;
2. 正弦定理和余弦定理的应用;
3. 三角函数的图象和性质;
4. 三角函数的综合问题;
5. 三角函数与其它知识的综合问题。
结合2012年全国各地高考的实例,我们从以上五方面探讨三角函数问题的求解。
一、同角、和差倍三角函数的应用:
典型例题:例1. (2012年全国大纲卷理5分)已知为第二象限角,,则【】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。
【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题:
∵,∴两边平方,得,即。
∵为第二象限角,∴因此。
∴。
∴。故选A。
例2. (2012年全国大纲卷文5分)已知为第二象限角,sin=,则sin2=【】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】同角三角函数和倍角三角函数的应用。
【解析】∵为第二象限角,∴。又∵sin=,∴。
∴。故选A。
例3. (2012年山东省理5分)若,,则【】
A B C D
【答案】D。
【考点】倍角三角函数公式的应用。
【解析】由可得,
∵,∴。
∴,故选D。
例4. (2012年江西省理5分)若,则【】
A. B. C. D.
【答案】D。
【考点】三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想。
【解析】∵,∴。故选D。
例5. (2012年江西省文5分)若,则=【】
A. - B. C. - D.
【答案】B。
【考点】二倍角的正切,同角三角函数间的基本关系。
【解析】将等式左边分子分母同时除以得,解得。
∴。故选B。
例6. (2012年辽宁省理5分)已知,(0,π),则=【】
(A) 1 (B) (C) (D) 1
【答案】A。
【考点】三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质。
【解析】∵,∴。∴。
又∵,∴。∴,即。
∴。故选A。
另析:,
。
例7. (2012年辽宁省文5分)已知,(0,π),则=【】
(A) 1 (B) (C) (D) 1
【答案】A。
【考点】三角函数中的倍角公式。
【解析】∵,∴。∴。故选A。
例8. (2012年重庆市文5分)=【】
(A)(B)(C) (D)
【答案】C。
【考点】两角和的正弦函数,特殊角的三角函数值。
【分析】将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°,然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后,合并约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值:
。
故选C。
例9. (2012年江苏省5分)设为锐角,若,则的值为▲.
【答案】。
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。
【解析】∵为锐角,即,∴。
∵,∴。∴。
∴。
∴
。
例10. (2012年广东省文12分)已知函数,且.
(1)求的值;
(2)设,,求的值.
【答案】解:(1),解得。
(2),即
,即
∵,∴,。
∵。
【考点】特殊角三角函数值,诱导公式,同角三角函数关系式,两角和的余弦公式。
【解析】(1)将代入函数解析式,利用特殊角三角函数值即可解得A的值。
(2)先将,代入函数解析式,利用诱导公式即可得、的值,再利用同角三角函数基本关系式,即可求得、的值,最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可。
例11. (2012年福建省理13分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
(4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
(5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
(I)请从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(II)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【答案】解:(I)选择(2)式,计算如下:
sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=。
(II)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)