例1 设都是实数,证明:
证明构造函数,证在上是增函数。
对于,有
故在上递增,由于
,
因此,即
说明构造辅助函数,利用函数的单调性来证明不等式的方法在高等数学中司空见惯,在数学竞赛中也经常使用。
例2 △ABC的三边满足条件,证明:
.
证明因为
,
所以,欲证的不等式等价于
.
构造一个辅助函数
.
一方面
,
所以
;
另一方面因是三角形的三条边长,所以
, 均为正数,利用平均不等式,
有
,
所以
,
即
.
本题我们巧妙地构造了一个辅助函数,通过从两个方面来考察,使问题得到了证明.
构造辅助函数是数学中经常使用的方法,主要是通过构造函数,把问题转化、进而对所作函数的性质进行研究,从而达到目的.
例3
例4 设为正实数,证明:
.
证明由柯西不等式知
,
而对,均有
.
于是
.
所以,由①知.
例5 已知正实数满足
,证明:
.
证明设
.
由条件式,有
,
于是.
利用柯西不等式有
.
因为第一个不等式等号成立的条件是,第二个不等式等号成立的条件是,所以两个等号不可能同时成立,故.
例6 设,且,证明:.
证明
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