巧用函数单调性妙解数学题.doc

巧用函数单调性妙解数学题《试题调研》网站免费精品资料下载:http:/y/试题调研,金考卷等天星产品低价直销(批量),联系人李老师,QQ45589335函数是高中数学的重要内容,函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时,若能根据题目的结构特征,构造出一个适当的单调函数,往往能化难为易,化繁为简,获得巧解和妙解。下面举例说明。,求的值。解:已知条件可化为设,则而在R上是增函数则有,即所以点评:本题关键是将条件转化为,再构造相应函数,利用单调性求解。拓展练习:已知方程的根为α,方程的根为β,求α+β的值。(答案:):易见x=2是方程的一个解原方程可化为而(因为)在R上是减函数,同样在R上是减函数因此在R上是减函数由此知:当时,当时,这说明与的数都不是方程的解,从而原方程仅有唯一解。拓展训练:解方程。(答:)点评:解该类型题有两大步骤:首先通过观察找出其特解,然后等价转化为的形式,最后根据的单调性得出原方程的解的结论。。解:令,则因为,所以而在内递增所以又而所以为所求原函数的值域。:设原不等式可化为则,即设显然是R上的减函数,且,那么不等式即因此有,解得点评:解不等式其实质是研究相应函数的零点,正负值问题。用函数观点来处理此类问题,不仅可优化解题过程,且能让我们迅速获得解题途径。拓展训练:解不等式。(答:),求证。证明:当m,n中至少有一个为0时,则有,结论成立。设因为在上单调递增所以与必同号,或同为0(当且仅当时)从而因此,原不等式成立(当且仅当或,或时取“=”号)。点评:原不等式等价于,这可由幂函数在上递增而得到。本题可拓展:令,则。