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第四章非线性方程数值求解
Numerical solution of nonlinear equation
§ 一元方程求根
Root-finding problem for nonlinear equation
in one variable
1. 问题 Problem
考虑单变量非线性方程
f(x)=0 (1)
的求根问题,这里
The basis problems is to find a root or solution of
an equation of the form f(x)=0 by numerical methods .
2. 预备知识 Preliminary
满足函数方程 f(x)=0 的x称为方程(1)的根,或称为函数f(x)的零点。如果函数(x)可分解为
(x)=(xs)mg(x)
且g(s )0,则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根。当m=1时,称s是(x)的单根或单零点。
A root of the equation (1) is also called a zero of
the function f.
若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方程, 特别地, 若f(x)是n次多项式,则称(1)为n次多项式方程或代数方程;若f(x)是超越函数,则称(1)为超越方程。
Specially, when f(x) is n-degree Polynomial , then the equation
(1) is called algebra equation. That is
()
理论上已证明,对于次数n<=4的多项式方程,它的根可以用公式表示,而次数大于5的多项式方程,(x)=0的函数方程,一般来说,不存在根的解析表达式,而实际应用中,也不一定必需得到求根的解析表达式,只要得到满足精度要求的根的近似值就可以了。
定理1.(根的存在定理)
假设函数y=f(x)Ca,b,且f(a)·f(b)<0, 则至少存在一点x (a,b)使得f(x )=0.
(并称区间(a,b)为有根区间).
定理2
假设函数y=f(x)在a,b上单调连续,且f(a)·f(b)<0, 则恰好只存在一点x (a,b)使得
f(x )=0
定理3
假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微,则s是方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是
求根的区间(1) 画图法(2) 逐步搜索法
画出y = f (x)的略图,从而看出曲线与x轴交点的大致位置。
也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式, 1(x)与2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。
例如xlgx –1 = 0
可以改写为lgx=1/x
画出对数曲线y=lgx,与双曲线y= 1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内
(1) 画图法
0
2
3
y
x
对于给定的f (x),设有根区间为[A,B],从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0+ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号,如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个缩小的有根子区间[xi-1,xi]。
用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h
要选择适当h ,使之既能把根隔离开来,工作量又不太大。
(2) 逐步搜索法
0
0
x
A
B
a1
b1
a2
b2
y
计算步骤
(1)x0=a
(2) 若f(x0)·f(x0 +h)<0,则[x0 , x0 +h]为含根子区间,取x0 或 x0 +h为初始近似根,否则转(3)。
(3) x0 = x0 +h ,转(2)。