高等数学易错问题总结.doc

关于大学数学遇到的一些疑难问题解析在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数?答:当函数在x=a处右连续的情况下结论成立,用洛必达罗比达法则,根据导数的定义分子分母分别求导,就可以得到正确的结论,在一个分段点(该点是函数的第一类间断点,右间断)两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例,如y=2x+1(x<=1),y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同?答:对于离散型随机变量成立,对于连续型随机变量最好不要下这样的结论,因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性,把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算,被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)*(x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方,所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y)求E(Z),也可用此方法显得简便,被积函数在y=x的上方为f(x,y)*x,下方为f(x,y)*y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)=Fx(z)*FY(z)和FZ(z)=1-(1-Fx(z))*(1-FY(z)),再对z求导的麻烦。为什么有第一类间断点的函数不存在原函数?并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。答:用反证法,假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限=F(x)在间断点x=a处的函数值,又因为F(x)处处可导,所以F(x)在x=a处的左导数=F(x)在x=a处的右导数=F(x)的导函数在x=a处的函数值,换句话说就是f(x)在x=a处的左极限=f(x)在x=a的右极限=f(x)在间断点x=a处的函数值,(因为F(x)连续,所以F(x)在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限),这样f(x)在x=a处连续,与题设条件矛盾,所以原命题正确。考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)x不等于0,f(x)=0当x=0时,当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在,所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方*sin(1/x)x不等于0,F(x)=0当x=0时。对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分?答:这是要把思路拓宽,想一想一张平面除四个象限,两根轴以外,还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素,这时就可以设参数t=y-ax(截距式参数)t=y除x(斜率式参数),根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围,从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限,再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内,就化为一个简单的关于t的定积分。从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种,一是我们书本里经常看到的直角坐标,二是极坐标即r与角度(逆时针方向增大)的关系,第三种就是参数方程。其中极坐标就是