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利用微积分证明不等式
余建生指导教师:吴晓
摘要对于不等式证明的方法有很多,利用微积分的知识来证明不失为一个简单易
掌握的方法,本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例,对不等式证明的微积
分方法进行了探究与归纳。
关键词不等式;导数;定积分
引言
,数形结合的思想,转化的思想,类比的思想,分类讨论思想,,,求导证明,,是教学的一个重点,也是学习的一个难点,本文应用微积分的有关概念,定理,结合典型实例,对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳.
(拉格朗日中值定理)证明不等式
定理1 若函数f满足如下条件:
(ⅰ)在闭区间上连续,
(ⅱ) 在开区间内可导,
则在内至少存在一点,使得

这里没有给出的确切位置,而对于不等式而言,,这时的关键是选择及区间.
若,试证.
证设.
当时,在上满足拉格朗日中值定理,
所以,
而,
.
,
于是.
若x>0,试证:.
证设,
因在上满足拉格朗日中值定理,
.
又,
.
即.
利用微分中值定理证明不等式时,要抓住定理的核心,在满足定理的两个条件下,主要是利用“存在一点”,即来确定不等式关系,关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间.

函数的单调性,在微积分中用导数来判定.
定理2 设函数在区间上可导,如果对任意的,恒有(或)则f(x)在内单调增加(或单调减少).
证明不等式,其中.
证(i)设.
当x>0时,.
单调减少.
.
(ii)
当,
.
.
,.
证明:.
证设.
. (无法判断的符号)

.
,
,
,
,
即.
利用函数的单调性证明不等式时,首先要根据不等式构造函数,
,只须证明或,而要证明或,首先求,判断还是再使用定理.

一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式(或麦克劳林公式).
定理3(泰勒定理) 若函数f满足如下条件:
(i)在开区间上函数f存在直到n阶导数,
(ii) 在闭区间上存在 f的n+1阶导数,
则对任何,至少存在一点,使得

若在内,则对任意几个点,试证有不等式.
证将介在展开,,
有.
,
(1)
对(1)式中分别取,得到=1,2,…n.
将上面的n个不等式两边分别相加得
,
即.
设>-1,证明(i)在,;
(ii)在a<0或a>1时,.
证设, .
,
则的麦克劳林展式为
介于0与之间.
即. (2)
(i)时,(2)式第三项非正.
.
(ii) 在a<0或a>1时, (2)式第三项非负.
泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式,从而利用它的局部展开式证明不等式.

由定义及判别法有:在某区间上凹(或下凹) ,也即
(或),
由此可证明一些不等式,特别是含两个