矩阵的相似变换 PPT课件.ppt

矩阵的相似变换
特征值与特征向量
二特征值与特征向量的性质
三相似矩阵的相关概念
四对称矩阵的对角化
一特征值与特征向量
定义设A是一个n阶的方阵,若对数,存在非零n维向量x,使Ax= x成立,则称是A的特征值,x是A的属于的特征向量。
注1 特征值问题是对于方阵而言的。
注2 特征向量必须是非零向量
特征值与特征向量的求法
(1)若A= 为具体矩阵(即具体给出)求解步骤为:
x
第一步:求出方程的所有根,即为 A的全部特征值第二步:对每个不同的,解其次方程组(A =0,求出一个基础解系 即为A的属于的线形无关特征向量。 则为A的属于的全部特征向量。注1 称为A的特征多项式,其为的n次多项式。 称为A的特征方程,其在复数域内必有n个根(包括重根)
所以n阶方阵总共有n个特征值,特征值的重数称为的代数重数,记做
注2 方程组的解空间称为A的属于的特征子空间,而把 dim 称为的几何重数,记作
注3 特征值的几何重数与代数重数满足
设A为n阶方阵,A的n个特征值
对应的特征向量为
又设f( )为一多项式,则 f (A )的特征值为f( ), i = 1,2,3…..n 且所对应的特征向量 xi 也同时为f( )所对应的特征向量。
典型例题分析
1)特征值于特征向量的计算 例1 求A= 的全部特征值和对应的特征向量
 所以A的全部特征值为
当
可知所以就可写成令的基础解系
就是矩阵A对应于的特征向量,全部特征向量为当时所以可写
如下形式
取得
取得
均为A的二重特征值的特征向量,全部特征向量为其中不全为零
二特征值与特征向量的性质
设是方阵A的互不相同的特征值,
是分别与之对应的特征向量,
则线性无关 属于同一特征值的特征向量的任意非零组合
仍是属于的特征向量
设n阶方阵A的n 个特征值为,则
注1 若是A的分别属于特征值的特征向量, ,则不是A 的特征向量
注2 若,u 分别是A,B的特征值,则
未必是A+B的特征值, 也未必是 AB的特征值
注3 A 与有相同的特征值,但特征向量 未必相同
注4 正交阵A的特征值只能是1或-1
三相似矩阵的相关概念
定义:设A、B都是n阶方阵,若存在n阶可逆矩
阵P,使,则称A相似与B。
基本性质
自反性:A与A相似;
对称性:A相似与B,则B也相似与A;
传递性:A相似与B,B 相似与C,则A相似与
C
相似矩阵的性质