四点共圆.doc

四点共圆如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称这四个点共圆,一般简称为"四点共圆"。四点共圆有三个性质:(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等;(2)圆内接四边形的对角互补;(3)圆内接四边形的外角等于内对角。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。判定定理折叠方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若能证明其顶角相等,从而即可肯定这四点共圆。(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等,那么这二点和线段二端点四点共圆)方法2:把被证共圆的四点连成四边形,若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时,即可肯定这四点共圆。(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角,那么这四点共圆)(2011全国)已知为坐标原点,为椭圆:在轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线与交与、两点,点满足.(I)证明:点在上;(II)设点关于点的对称点为,证明:、、、四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。解(I),的方程为,代入并化简得设,则,由题意得,,故点在椭圆上…6分(II)解法一【圆的定义】由和题设知,的垂直平分线的方程为①设的中点为,则,的垂直平分线的方程为②由①、②得、的交点为于是,,,,,因此,又,,于是,由此可知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上…12分解法二【对角互补】由(1)知,,于是,因此,,由轴对称可知由对角互补,可知四点共圆。解法三【对角互补】,由得,由轴对称可知,由对角互补,可知四点共圆。解法四【其中一点适合另外三点确定的圆的方程】先写出以垂直平分线交点的坐标,求出,写出过三点的圆,再验证点在圆上,即可。(过程略)【点评】本题涉及到平面微向量,有一定的综合性和计算量,,都保持全卷倒数第二道题的位置,这点考生非常适应的。相对来讲比较容易,是因为这道题的最大特点没有任何的未知参数,我们看这道题椭圆完全给出,直线过了椭圆焦点,并且斜率也给出,平时做题斜率不给出,需要通过一定