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系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各个变量之间关系的数学表达式。
描述各变量动态关系的表达式称为动态数学模型。
常用的数学模型为微分方程。
第二章控制系统的数学模型
建立系统数学模型的方法,一般采用解析法和实验法。
所谓解析法,即依据系统及元部件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式,并经实验验证,从而建立系统的数学模型。
实验法是对系统或元件输入一定形式的信号(阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等),根据系统或元件的输出响应,经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
微分方程
传递函数
频率特性
控制系统微分方程的建立
首先必须了解系统的组成、工作原理,然后根据支配各组成元件的物理定律,列写整个系统输入变量与输出变量之间的动态关系式,即微分方程。
列写微分方程的一般步骤:
①分析系统和各个元件的工作原理,找出各物理量(变量)之间的关系,确定系统和各元件的输入、输出变量。
②从输入端开始,按照信号的传递顺序,根据各变量所遵循的物理(或化学)定律,列写动态关系式,一般为一个微分方程组。
③对已建立的原始方程进行处理,忽略次要因素,简化原始方程,如对原始方程进行线性化等。
④消除中间变量,写出关于输入、输出变量之间关系的数学表达式,即微分方程。
根据电路理论中的基尔霍夫定理,建立RC无源网络的微分方程。
输入量为电压ur(t),输出量为电压uc(t)
i(t)为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变量i(t),可得
令RC=T,则上式又可写为
式中:T称为无源网络的时间常数,单位为秒(s)
一般情况下把输出变量写在等式的左边,输入变量写在等式的右边。
拉氏变换
拉普拉斯变换简称为拉氏变换,它是一种函数之间的积分变换。拉氏变换是研究控制系统的一个重要数学工具,它可以把时域中的微分方程变换成复域中的代数方程,从而使微分方程的求解大为简化。同时还引出了传递函数、频率特性等概念。
用拉氏变换解微分方程示意图
一、拉氏变换的定义和存在定理
1. 定义
设函数f(t)在t≥0时有定义,如果线性积分
存在,则由此积分所确定的函数可写为