高数第八章 平面方程.ppt

第五节
一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
平面及其方程
第八章
①
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点
且垂直于非零向
称①式为平面的点法式方程,
求该平面的方程.
法向量.
量
则有
故

即
解: 取该平面的法向量为
的平面的方程.
利用点法式得平面的方程
此平面的三点式方程也可写成
一般情况:
过三点
的平面方程为
说明:
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
此式称为平面的截距式方程.
时,
平面方程为
分析:
利用三点式
按第一行展开得
即
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
以上两式相减, 得平面的点法式方程
此方程称为平面的一般
任取一组满足上述方程的数
则
显然方程②与此点法式方程等价,
②
的平面,
因此方程②的图形是
法向量为
方程.
特殊情形
•当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示
通过原点的平面;
•当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示
• A x+B y+D = 0 表示
• C z + D = 0 表示
• A x + D =0 表示
• B y + D = 0 表示
平行于 y 轴的平面;
平行于 z 轴的平面;
平行于 xOy 面的平面;
平行于 yOz 面的平面;
平行于 zOx 面的平面.
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
.
解:
因平面通过 x 轴,
设所求平面方程为
代入已知点
得
化简,得所求平面方程
(P39例4 , 自己练面∏1的法向量为
平面∏2的法向量为
则两平面夹角的余弦为
即
两平面法向量的夹角(常指锐角)称为两平面的夹角.
特别有下列结论: