自然对数.docx

自然对数定义以常数e为底数的对数叫做自然对数,记作lnN(N>0).第二定义它的含义是单位时间内,:当x趋于无限时,lim(1+1/x)^x=e. e是一个无限不循环小数,…,,称为对数函数,记作y=Inx(x为自变量,y为因变量).e的级数展开式易证明:函数f(x)=e^x展开为x的幂级数(Maclaurin级数)是 f(x)=e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+…+(x^n)/n!+…; 特别地,当x=1时就得到了e的展开式 e=1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!+….自然对数的历史 e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数。以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”。我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法,很麻烦,发明了对数这个工具后,乘法可以化成加法,即:log(ab)=loga+logb. 但是能够这么做的前提是,我要有一张对数表,能够知道loga和logb是多少,然后求和,能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦,但是编好了就是一劳永逸的事情,因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦,就是这个对数表取多少作为底数最合适?10吗?或是2?为了决定这个底数,他做了如下考虑: -1之内的数乘以一个10的几次方,这个用科学记数法就行了。 -1之间的数的对数表了,那么我们自然用一个0-1之间的数做底数(如果用大于1的数做底数,那么取完对数就是负数,不好看)。 -1间的底数不能太小,,这会导致很多数的对数都是零点几;而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”,,两个数相差10倍时,,,,那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。 ,底数一定要接近于1,,。总的来说就是1-1/X,X越大越好。在选了一个足够大的X(X越大,对数表越精确,但是算出这个对数表就越复杂)后,你就可以算(1-1/X)^1=P1, (1-1/X)^2=P2, ……那么对数表上就可以写上P1的对数值是1,P2的对数值是2……(以1-1/X作为底数)。而且如果X很大,那么P1,P2,P3……间都靠得很紧,-1之间的区间。 ,用(1-1/X)^X作为底,这样P1的对数值就是1/X,P2的对数值就是2/X,……PX的对数值就是1,这样不至于让一些对数值变得太大,比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万,这样调整之后,各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。 ,那么X就要更大,数学家算了很多次,1000,1万,十万,最后他发现,X变大时,这个底数(1-1/X)^X趋近于一个值。这个值就是1/e,自然对数底的倒数(虽然那个时候还没有给它取名字)。