函数的单调性.ppt

函数的单调性(一)f(x)=x3xy0f(x)=-xxy0xy0f(x)=x2图1图2图3观察下面三个函数图象的变化特点。y=x31-18......-121显然有在R上任意取两个值x1、x2当x1<x2时,yx0都有f(x1)<f(x2),0xy...-2-11...-112f(x)=-x显然有即在R上任意取两个值x1、x2当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),(-∞,0)上取x=-3,x=-2,x=-1则f(-3)=9;f(-2)=4;f(-1)=[0,+∞)上取x=0,x=1,x=2则f(0)=0;f(1)=1;f(2)=4显然有即在[0,+∞)上任意取两个值x3、x4当x3<x4时,即在(-∞,0)上任意取两个值x1、x2当x1<x2时,0yx914-3-2-112f(x)=x2都有f(x1)>f(x2)都有f(x3)<f(x4)定义:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于属于定义域内某个区间M上的任意两个自变量的值x1,x2。当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间M上是减函数。x2x1y=f(x)abOxyf(x1)f(x2)x2x1f(x1)f(x2)xy=f(x)yOab当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间M上是增函数。..x1x2..x3x4在区间(-∞,0)上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),所以y=x2在区间(-∞,0)上是减函数。在区间[0,+∞)上的任意两个自变量的值x3,x4当x3<x4时,都有f(x3)<f(x4),所以y=x2在区间[0,+∞)上是增函数。如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或者是减函数。那么就说函数y=f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性。这一区间叫做y=f(x)的单调区间。如(-∞,0)是y=x2的单调递减区间。[0,+∞)是y=x2的单调递增区间。从图象来看,在单调区间上增函数是上升的;减函数是下降的。xy0y=x2(函数在一个点上没有单调性)问题2:函数f(x)=在x=1处是减函数吗?3。函数f(x)=在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数吗?yxo问题1:2。函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调性如何?1。函数f(x)=在区间(-∞,0)上单调性如何?解:单调递减单调递减反例:取x1=-1,x2=1,则f(-1)=-1,f(1)=1可见x1<x2时;f(x1)>f(x2)不一定成立。所以f(x)=在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上没有单调性。..-11例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数。答:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5];其中单调减区间是[-5,-2),[1,3),单调增区间是[-2,1),[3,5]。要了解某函数在某一区间上是否具有单调性,从图象上进行观察是一种常用的方法,但这种方法比较粗略。严格地说,它还需要进行证明。例2(1)证明函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=3(x2-x1)由x1<x2,得x2-x1>0于是f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2)所以,函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。取值作差变形定号判断(2)证明函数在区间[0,+∞)上为增函数。分析:按定义只需设x1,x2是R上的任意两个实数,当x1<x2,我们来证明f(x1)>f(x2)。