矩阵多项式的质讨论论文.doc

矩阵多项式的性质讨论摘要:本文系统总结了矩阵多项式的一些性质,且主要针对矩阵多项式的特征值、秩、逆矩阵求法和可逆性判别、迹的性质的探讨以及矩阵多项式在代数学中的应用。其中对于已有的结论则不予证明,同时本文也给出了一些重要的结论。关键词:矩阵多项式特征多项式最小多项式特征值秩迹MatrixtodiscussthenatureofpolynomialAbstract:Thisarticlesummarizesthematrixsystempolynomialsomeproperties,mainlyagainstMatrixandthecharacteristicsofpolynomials,rank,thematrixinversediscriminationlawandreversible,,::设是复数域的一个子域,记表示在上关于的所有多项式全体,记表示与的最大公因子(其中)。定义2:记表示上阶矩阵构成的矩阵集合。取,记为的最小多项式(其次数),记为的特征多项式。表示的单位矩阵。定义3:,则称为的多项式,显然若为矩阵,则无意义。定义4:,表示矩阵的秩,并把简计为。下面一切符号从上,除非有特别说明本文第一部分主要探讨的一些基本性质,第二部分则着重解决矩阵多项式在代数学中的应用。同时也给出本人的证明方法。2矩阵多项式的基本性质矩阵多项式是矩阵分析中一个重要组成部分,也是控制论或系统工程的一个重要工具,它具有很多良好的性质,因此对矩阵多项式不同性质的讨论,可加深对矩阵理论的认识,使矩阵理论更具完备性。,是n个任意给定的复数,则存在多项式…,使得是A=的特征值。证明:设B且具有n个不同的特征值,构造线性方程组则该方程组的系数行列式为范德蒙行列式的转置,且互不相同,从而系数行列式不为零,由克莱姆法则知,该方程组有唯一解令则的特征值是,其中…定理2设B且具有n个不同的特征值,,,则相似于对角矩阵。证明:设B且具有n个不同的特征值为,则相似于对角矩阵,即存在n阶可逆矩阵,使得从而:,,若可逆,则的逆矩阵也是的多项式。证明:设B的特征值,则的特征值为,其中由于可逆,故。的特征值为,其中,由定理2,存在可逆矩阵,使得由定理1,存在多项式,使得特征值,,所以:,即是的多项式。定理4:设是具有不同特征值的n阶方阵,,则相似于对角矩阵的充必要条件是:,使得与=相似。证明:(必要性)设相似于对角矩阵,的特征值为,由定理1知,存在多项式,使得=的特征值是,又由定理2知=相似于对角矩阵,而也与对角矩阵相似。由矩阵相似关系的传递性知:与相似。(充分性)设与=相似,其中,由定理2知,与对角矩阵相似,由相似关系的传递性知,与对角矩阵也相似。定理5:若是矩阵的特征值,则也为的特征值。推论:若的特征值为,则的特征值为。,,,命题1,命题2的逆命题也成立,但对于逆命题的证明,文献[1]中没有提到,我们把以上的结果推广成下面的定理,并给出证明方法。定理1设,,是n阶矩阵,:由,存在,使,因此有,由得(1)又由得(2)由(1),(2)可得(3)由(3),,是数域上n维线性空间的一个线性变换,则的充分必要条件是,这里表示上的恒等变换。证明:由,不难证明具体证明参见文献[12],这里从略。于是(必要性)若,则,于是有注意到与,即得(充分性)若,则+由于为的子空间,故,[10]有这样的例子:例1:已知矩阵满足:求的逆矩阵。解:设,利用可得解非齐次线性方程组可得即得上例中求矩阵多项式的逆矩阵的方法较繁琐且需要一定的计巧,下面的定理给出了此类矩