第二章曲面的表示与曲面论曲面的切平面和法线、光滑曲面平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为,是其上一定点。,即,(1)法线方程为,(2)例1、,,.,得到切线方程,即;法线方程,(1)(1)空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程为,.定点,,,当时,动点沿曲线无限接近定点,达到动割线的极限位置:,(3)。过且与切线垂直的平面叫做曲线在点的法平面,其方程为……(4),切线方程为;法平面方程为,(2)螺旋线的切线与法平面3曲面的切平面与法线设曲面的一般式方程为,是由该方程确定的隐函数,则,.设,令,,则曲面在点的切平面方程的法向量可表为……(5)于是切平面的方程为;,,.设曲线:是曲面上过点的任意一条可微分曲线,,为在点的切线,,,再取,得……①则为切线的方向向量.①(3)由该定理可见:曲面在点的切平面恰好是由上过点的所有曲线在点的切线所织成的平面(如图(3)所示).,切平面方程为;(4)椭球面的切平面4求两个曲面的交线的切线方程设曲面:,:.曲线是与的交线..如图(5)(5)注意到、在点的法向量分别为和,由于过点的切线的方向向量同时垂直于与,故可令,得……(6)简记为,,;,;.切线方程是,即;法平面方程是,(6)球面与锥面交线的切线例5、设球面的双参数方程为,。求过点的切平面方程。提示:因为所以,法向量或故过点的切平面方程为整理得即球面在其上一点处的切平面方程为。
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