数学物理方程-谷超豪.pdf

数学物理方程习题讲义苏海军山东大学数学学院-2-摘摘摘要要要本讲义所收录习题基于高等教育出版社谷超豪等编著的《数学物理方程》(第二版)第一章至第四章有限,其中难免有疏漏与不足之处,....................................................................................................................................................................................1第二章热传导方程..................................................................................................................................................................................17第三章调和方程....................................................................................................................................................................................26第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结............................................................................................................................................................38-ii-(1)理解弦振动方程的物理意义,定解条件的物理意义.(2)理解波的左右传播,理解依赖区间,决定区域和影响区域的概念,掌握齐次化原理.(3)理解波动方程分离变量法解的物理意义,掌握非齐次边界条件的齐次化方法.(4)理解膜振动方程的物理意义,掌握球平均法和降维法.(5)熟练掌握达郎贝尔公式和分离变量法的推导过程,会应用这两种方法求解定解问题.(6)§、(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t),试证明u(x,t)满足方程µ¶µ¶∂∂u∂∂uρ(x)=E,∂t∂t∂x∂x其中ρ为杆的密度,E为杨氏模量.∂u证明:如图建立坐标系,选取杆上一段微元(x,x+∆x),则微元两端的相对伸长分别为(x,t)∂x∂u∂u和(x+∆x,t).假设杆的横截面面积为S,则微元两端所受拉力分别为E(x)(x,t)S(x)∂x∂x∂u∂u和E(x+∆x)(x+∆x,t)S(x+∆x).因此所受合力为E(x+∆x)(x+∆x,t)S(x+∆x)−∂x∂x∂uE(x)(x,t)S(x),且正向与坐标轴相同.∂x图图图1-1图示∂2u设x¯为微元重心,则重心处加速度为(¯x,t),由牛顿第二定律得,∂t2∂2u∂u∂uρ(¯x)S(¯x)∆x2(¯x,t)=E(x+∆x)S(x+∆x)(x+∆x,t)−E(x)S(x)(x,t)∂tµ∂x¶∂x∂∂u=E(x∗)S(x∗)(x∗,t)∆x∂x∂x-1-∗∈(x,x+∆x).约去∆x并令∆x→0,即得µ¶µ¶∂∂u∂∂uρ(x)S(x)=E(x)S(x)∂t∂t∂x∂x当为常数时,即为S(x)µ¶µ¶∂∂u∂∂uρ(x)=E,∂t∂t∂x∂,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,:设杆的两个端点坐标分别为0和l.(1)端点固定:此时两个端点无位移,即u(0,t)=u(l,t)=0;∂u(2)端点自由:此时两个端点无约束,根据上题,拉力E(x)(x,t)S=0,即∂x∂u∂u(0,t)=(l,t)=0;∂x∂x(3)端点固定在弹性支承上:∂u,则支承对杆的左端点x=0处的作用力为E(0)(0,t)S,且其正向