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2006年数学二试题分析、详解和评注
填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上.
(1)曲线的水平渐近线方程为
【分析】直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.
【详解】.
故曲线的水平渐近线方程为.
【评注】本题为基本题型,应熟练掌握曲线的水平渐近线,,斜渐近线不存在,为什么?
(2)设函数在处连续,则.
【分析】.
【详解】由题设知,函数在处连续,则
,
又因为.
所以.
【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题,,洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点,属基本题型.
(3)广义积分.
【分析】利用凑微分法和牛顿-莱布尼兹公式求解.

【详解】.
【评注】本题属基本题型,对广义积分,若奇点在积分域的边界,则可用牛顿-莱布尼兹公式求解,注意取极限.
(4) 微分方程的通解是
【分析】本方程为可分离变量型,先分离变量,然后两边积分即可
【详解】原方程等价为
,
两边积分得,整理得
.()
【评注】本题属基本题型.
(5)设函数由方程确定,则
【分析】本题为隐函数求导,可通过方程两边对求导(注意是的函数),一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.
【详解】方法一:方程两边对求导,得
.
又由原方程知,.代入上式得.
方法二:方程两边微分,得
,代入,得.
方法三:令,则
,
故.
【评注】,不必写出其导数或微分的一般式
(6)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则
2 .
【分析】将矩阵方程改写为的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】由题设,有

于是有,而,所以.
【评注】.
二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则
(A) . (B) .
(C) . (D) . [ A ]
【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.
【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,显然当时,
,故应选(A).
【评注】对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时,:
因为,所以单调增加,即,又,
则,即.
(8)设是奇函数,除外处处连续,是其第一类间断点,则是
(A)连续的奇函数. (B)连续的偶函数
(C)在间断的奇函数(D)在间断的偶函数. [ B ]
【分析】由于题设条件含有抽象函数,本题最简便的方法是用赋值法求解,即取符合题设条件的特殊函数去计算,然后选择正确选项.
【详解】取
.
则当时,,
而,所以为连续的偶函数,则选项(B)正确,故选(B).
【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题,用赋值法求解往往能收到奇效.
(9)设函数可微,,则等于
(A). (B)
(C) (D) [ C ]
【分析】题设条件两边对求导,再令即可.
【详解】两边对求导,得
.
上式中令,又,可得
,故选(C).
【评注】本题考查复合函数求导,属基本题型.
(10)函数满足的一个微分方程是
(A) (B)
(C) (D) [ D ]
【分析】,然后由特解形式判定非齐次项形式.
【详解】由所给解的形式,可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为
.
则对应的齐次微分方程的特征方程为
.
故对应的齐次微分方程为
.
又为原微分方程的一个特解,而为特征单根,故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式(为常数).所以综合比较四个选项,应选(D).
【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题,关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..
(11)设为连续函数,则等于
(A). (B).
(C) . (D) . [ C ]
【分析】本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分,首先由题设画出积分区域的图形,然后化为直角坐