定积分的几何应用(新).ppt

§ 定积分在几何中的应用
一、定积分的微元法
二、平面图形的面积
三、旋转体的体积
用定积分表示一个量,
如几何量、
物理量或其他的量,
一般分四步考虑,
我们来回顾一下解决曲边梯形面积的过程.
第一步分割:
将区间[a, b] 任意分为 n 个子区间[ xi - 1, xi ](i = 1, 2, · · ·, n),
其中 x0 = a,xn = b .
一、定积分的微元法
第三步求和:
曲边梯形面积 A
第四步取极限:
n,= max{xi }  0,
第二步取近似:
在子区间[ xi-1, xi ]上,
任取一点 xi ,
作小曲边梯形面积Ai 的近似值,
Ai  f (xi)xi .
(i=1,2,…n)
如果把第二步中的 xi 用 x 替代,
中的被积分式 f (x)dx 具有类同的形式,
第二步取近似时其形式 f(xi)xi ,与第四步积分
xi 用 dx 替代,
那么它就是第四步积分中的被积分式,
第一步选取积分变量,
例如选取 x,
并确定其范围,
例如 x[a, b],
在其上任取一个子区间记作[x, x + dx].
第二步取所求量 I 在子区间[x, x + dx] 上的部分量I 的近似值
I  f (x)dx,
第三步取定积分
基于此,我们把上述四步简化为三步:
几点说明:
(1) 取近似值时,
得到的是形如f (x)dx 的近似值,
并且要求I - f (x)dx 是 dx 的高阶无穷小量,
关于后一个要求在实际问题中常常能满足.
(2) 满足(1) 的要求后,
f (x)dx 是所求量 I 的微分,
所以第二步中的近似式常用微分形式写出,即
dI = f (x)dx ,
dI 称为量 I 的微元.
上述简化了步骤的定积分方法称为定积分的微元法.
x
a
O
x
x + dx
y = f (x)
y
计算由区间[a, b]上的两条连续曲线
以及两条直线x=a与x=b所围成的平面图形的面积。
由微元法,取x为积分变量,
其变化范围为区间[a, b],在
区间[a, b]的任意一个小区间
[x, x+dx]上,相应的面积可
以用 x点处的函数值
二、平面图形的面积
a
y
x
b
O
x
y = f (x)
x+dx
y = g(x)
为高
所以,所求平面图形的面积A为
以dx为底的矩形面积近似代替(如图),从而得到面积元素
类似地可得,由区间[c,d]上的两条连续曲线
与,( 当)

以及两直线与所围成的平面图
形的面积为
x
o
y
c
d
y
y+dy
例1 计算由曲线及直线所围
成的平面图形的面积。
解:作出所围成的平面图形
取x为积分变量,其变化区间
为[0,1]。于是,平面图形的面积
例 2 求出抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x – 4 所围成的平面图形的面积.
解作草图,如图,
求抛物线与直线的交点,
即解方程组
得交点 A (2, - 2) 和 B (8, 4).
x
A
B
-2
4
y
y = x-4
y2 = 2x
(8,4)
(2,-2)